LA LÓGICA: Conceptos, clases, historia, leyes y características

LA LÓGICA: 

Conceptos, clases, historia, leyes y características
GUÍA - TALLER

1.       CONCEPTOS E HISTORIA DEL CONCEPTO:

Dialéctica

Ciencia que trata de las leyes más generales del desarrollo de la naturaleza, de la sociedad y del pensamiento humano. Una larga historia ha precedido a la concepción científica: de la dialéctica, y el concepto mismo de dialéctica ha surgido durante la reelaboración y hasta la superación del sentido inicial del término. Ya la filosofía grecorromana subrayó con gran fuerza el carácter variable de todo lo existente, concibió la vida del mundo como un proceso, elucidó el papel que en este proceso desempeña la transformación de toda propiedad en su contraria (Heráclito, en parte los materialistas de Mileto, los pitagóricos). A tales investigaciones no se aplicaba todavía el término «dialéctica». Al principio, con este término (dialektikh1 técnh –«arte de la dialéctica») se designaba el arte del diálogo y de la discusión: 1) la capacidad de sostener una discusión por medio de preguntas y respuestas; 2) el arte de clasificar los conceptos, de dividir las cosas en géneros y especies. Aristóteles, que no comprendió la dialéctica de Heráclito, consideraba que el inventor de la dialéctica fue Zenón de Elea, quien sometió a análisis las contradicciones que surgen cuando se intenta comprender el concepto de movimiento y de multiplicidad. El propio Aristóteles distingue la «dialéctica» como ciencia de los argumentos probables, de la «analítica», ciencia de la demostración. Platón, siguiendo a los eleatas (Escuela eleática) define el ser verdadero como idéntico e invariable, mas en los diálogos «El Sofista» y «Parménides» fundamenta las conclusiones dialécticas en el sentido de que los géneros superiores de lo que es sólo pueden concebirse de modo que cada uno de ellos sea y no sea, resulte igual a sí mismo y no igual, sea idéntico a sí y se transforme en su «otro». Por esto el ser incluye en sí contradicciones: es uno y múltiple, eterno y transitorio, invariable y variable, reposa y se mueve. La contradicción es la condición necesaria para incitar el alma a la cogitación. El arte de hacerlo es, según Platón, el arte de la dialéctica. Siguieron desarrollando la dialéctica los neoplatónicos (Plotino, Proclo). En la escolástica, la filosofía de la sociedad feudal, se empezó a dar el nombre de dialéctica a la lógica formal que fue contrapuesta a la retórica. En los estadios iniciales del desarrollo de la sociedad capitalista, formulan ideas dialécticas acerca de la «coincidencia de contrarios», Nicolás de Cusa y Bruno. En [119] la Época Moderna, a pesar del predominio de la metafísica, Descartes y Spinoza ofrecen ejemplos de pensamiento dialéctico; el primero, en su cosmogonía; el segundo, en la teoría sobre la substancia como causa de sí misma. En el siglo XVIII, descuellan en Francia, por la riqueza de sus ideas dialécticas, Rousseau y Diderot. El primero investiga las contradicciones como condición del desarrollo histórico; el segundo, además, estudia las contradicciones en la conciencia social de su tiempo («El sobrino de Rameau»). Constituye una etapa importantísima en el desarrollo de la dialéctica antes de Marx, el idealismo clásico alemán, el cual, a diferencia del materialismo metafísico, veía en la realidad no sólo el objeto del conocimiento, sino que además la consideraba como objeto de actividad. Por otra parte, el desconocimiento de la base verdadera, material, de la cognición y de la actividad del sujeto, llevó a los idealistas a tener una concepción limitada y de la dialéctica. El primero en una brecha en la metafísica fue Kant, quien señaló el valor de las fuerzas contrarias en los procesos físicos y cosmogónica, introdujo –por primera vez después de Descartes– la idea desarrollo en el conocimiento de la naturaleza. En epistemología, Kant desarrolla las ideas dialécticas en la teoría de las «antinomias». No obstante, la diléctica de la razón, según Kant, es ilusoria y se elimina tan pronto como el pensamiento vuelve a sus límites circunscriptos al conocimiento de los fenórnenos y nada más. Más tarde, en epistemología (en «Teoría de la ciencia»), Fichte expuso el método «antitético» para la investigación de las categorías, método que contiene importantes ideas dialécticas. Siguiendo a Kant, Schelling amplía la concepción dialéctica de los procesos de la naturaleza. En la cima de la dialéctica anterior a Marx, se encuentra la de Hegel. Independientemente de su falsa concepción, en Hegel «por vez primera se concibe todo el mundo de la naturaleza, de la historia y del espíritu como un proceso, es decir, en constante movimiento, cambio, transforación y desarrollo, intentando además poner de relieve la conexión interná de este movimiento y desarrollo». (F. Engels, Anti-Dühring, pág. 23 - Ibíd., E.P.U., 1961, págs. 33-34). A diferencia e las determinaciones abstractas del entendimiento, la dialéctica, según Hegel es el paso de una determinación a otra en el cual se pone de manifiesto que tales determinaciones son unilaterales y limitadas, es decir, contienen la negación de sí mismas. Por este motivo la dialéctica, según Hegel, es «el alma motriz de todo despliegue científico del pensar y constituye el único principio que introduce en el contenido de la ciencia una conexión inmanente y la necesidad». El resultado de la dialéctica de Hegel rebasó en mucho el significado que él mismo le había asignado. En la doctrina hegeliana sobre la necesidad con que todo se transforma en su negación, se hallaba contenido el principio que revoluciona la vida y el pensamiento, por lo que los pensadores avanzados veían en la dialéctica de Hegel «el álgebra de la revolución» (Herzen). La concepción verdaderamente científica de la dialéctica fue creada sólo por Marx y Engels. Después de desechar el contenido idealista de la filosofía de Hegel, Marx y Engels estructuraron la dialéctica sobre la base de la concepción materialista del proceso histórico y del desarrollo del conocimiento, generalizando los procesos reales que ocurren en la naturaleza, en la sociedad y en el pensar. En la dialéctica científica, se combinan orgánicamente las leyes del desarrollo tanto, del ser como del conocer, dado que tales leyes, por su contenido, son idénticas, y sólo se diferencian por la forma. De ahí que la dialéctica materialista sea no sóló una doctrina «ontológica», sino, además, gnoseológica, una lógica que examina el pensamiento y la cognición tanto en su devenir como en su desarrollo, pues las cosas y fenómenos son lo que devienen en el proceso de su desarrollo, y en ellos está contenido, como tendencia, su futuro, es, decir, aquello que devendrán. En este sentido, la dialéctica materialista ve también la teoría del conocimiento como generalización de la historia del conocimiento, y, cada concepto, cada categoría, a pesar de su carácter de máxima géneralidad, llevan la impronta de la historicidad. La categoría principal de la dialéctica materialista es la contradicción. En la teoría de las contradicciones, la diáléctica materialista descubre la fuerza motriz y la fuente de todo desarrollo; en ésta categoría se encuentra la clave de todos los demás principios y categorías del desarrollo dialéctico: el desarrollo por medio de la transformación de los cambios cuantitativos en cualitativos, la interrupcion de la gradualidad, los saltos, la negación del momento inicial del desarrollo y la negación de esta misma negación; la repetición, sobre [120] una base superior, de ciertas facetas y rasgos del estado inicial. Precisamente, es esta manera de concebir el desarrollo lo que distingue la dialéctica de todo género de concepciones evolucionistas vulgares, tan características de las teorías contemporáneas burguesas y reformistas. La dialéctica materialista constituye un método filosófico para investigar la naturaleza y la sociedad. Sólo con un criterio dialéctico es posible comprender el camino complejo y lleno de contradicciones por el que se va formando la verdad objetiva, la conexión de los elementos de lo absoluto y de lo relativo en cada escalón del avance de la ciencia, los pasos de unas formas de generalización a otras formas, más profundas. La esencia revolucionaria de la dialéctica materialista, inconciliable con todo estancamiento e inmovilidad, hace de la propia dialéctica un instrumento de la transformación práctica de la sociedad, una ayuda para tomar objetivamente en consideración las necesidades históricas del desenvolvimiento social, la falta de conformidad de las viejas formas respecto al nuevo contenido, la necesidad de pasar a formas superiores que faciliten el progreso de la humanidad. La estrategia y táctica de la lucha por el comunismo se elaboran en plena correspondencia con la concepción materialista dialéctica del mundo (Lógica dialéctica).

http://www.filosofia.org/enc/ros/dia.htm

Concepto general

liceodigital

La denominación de la lógica, está directamente relacionada con la palabra griega logos, cuyo significado en griego antiguo es equivalente a“pensamiento” o “razón”, pero también “palabra” o “conocimiento”; y logiké era “lo relativo al logos” En definitiva, se trata del estudio de la forma en que funciona la facultad humana de pensar y razonar.

Puede definirse la lógica como el conjunto de conocimientos que tienen por objeto la enunciación de las leyes que rigen los procesos del pensamiento humano; así como de los métodos que han de aplicarse al razonamiento y la reflexión para lograr un sistema de raciocinio que conduzca a resultados que puedan considerarse como certeros o verdaderos.

2.       CLASES DE LÓGICA

2.1. Lógica formal y material

Debe distinguirse entre la lógica formal y la lógica material:

    La lógica formal también llamada lógica pura - que es la lógica propiamente dicha - es precisamente la “ciencia” (en cuanto conocimiento) que determina cuáles son las formas correctas y válidas de los raciocinios; pero lo hace considerándolos en sí mismos y con prescindencia de los contenidos concretos de los razonamientos, es decir, considerando esos contenidos como entes lógicos abstractos, de tal manera que las leyes a aplicar tengan validez para cualquier contenido concreto.

    El raciocinio puede definirse como un proceso del pensamiento (por tanto, exclusivamente humano) que a partir de ciertos conocimientos establecidos (llamados premisas), conduce a adquirir un conocimiento nuevo (contenido en la conclusión) sin que para ello haya que recurrir a nuevas constataciones u observaciones sensibles distintas o adicionales a las ya contenidas en las premisas.

    Por lo tanto, la verdad a que conduce la lógica formal, es una verdad formal; que será verdad en tanto sea verdad el contenido de las premisas, e indicará solamente que existe una congruencia de ese raciocinio, consigo mismo. Si en un razonamiento existe falsedad en las premisas y la conclusión asimismo es falsa; de todos modos el razonamiento será correcto o válido como razonamiento.

    La lógica material también llamada lógica aplicada, es aquella en que un proceso de raciocinio o de pensamiento se analiza en consideración al contenido real de sus premisas, y por lo tanto debe conducir a una verdad material, una conclusión que sea concordante con la realidad.

    Mientras que las premisas (o predicados) que toma en consideración la lógica pura constituyen entidades abstractas y absolutamente precisas, respecto de las cuales no es requerido que exista ningún objeto de la realidad que los verifique; es difícil encontrar en la realidad conceptos de origen empírico-sensible que presenten exactamente las características de los objetos lógicos.

    Aparte de ello, respecto de todo concepto de origen empírico, no solamente es posible concebir sino que también se encuentran en la realidad experimental, objetos respecto de los cuales no es posible afirmar de manera absolutamente cierta que coinciden o que no coinciden con esos conceptos.

    Por lo tanto, respecto de proposiciones lógicas que utilicen esos conceptos, las leyes de la lógica formal solamente serán aplicables con especial precaución. De tal manera, las leyes de la lógica formal solamente resultarán aplicables con alcance estricto en el campo de las ciencias puramente exactas y abstractas, tales como las matemáticas, la propia lógica, la mecánica, y aquellas disciplinas exclusivamente normativas y abstractas tales como la interpretación jurídica.

2.2 Historia de la lógica formal y simbólica o matemática

Breve historia de la lógica

Entre los muchos aportes que hizo Aristóteles al conocimiento abstracto, sin duda la lógica formal - de la que fue indiscutiblemente creador - no solamente puede considerarse el más trascendental, sino aquel en que logró mejores y mayores aciertos.

La principal aportación de Aristóteles fue la silogística, el estudio del procedimiento de raciocinio por medio del silogismo, en que de dos premisas se deduce una conclusión; también llamada lógica de las proposiciones o lógica “clásica”. Los filósofos ulteriores, sobre todo los pertenecientes a la escuela estoica pre-cristiana y a la escolástica medieval desarrollaron a fondo la lógica de las proposiciones; sistematizando y completando la silogística aristotélica así como llegaron a desarrollar las llamadas “lógicas modales”.

Recién en el siglo XIX puede decirse que se desarrollaron nuevas aportaciones de importancia en el campo de la lógica, con el desenvolvimiento de la “lógica matemática” que, a partir del antecedente del pensamiento de Leibnitz, realizaron Boole y Frege.

El filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibnitz (Leipzig, 1646 - Hannover, 1716) - a quien cabe considerar el creador de la lógica matemática - desarrolló la idea de un calculus ratiocinator, mediante el cual se aplicaría un sistema de reglas a algunos conceptos generales precisamente definidos, lo que habilitaría a operar en el campo de las cuestiones filosóficas con los mismos procedimientos del razonamiento matemático. Esta idea tenía implícito el concepto de crear un método equivalente al de las ciencias exactas para alcanzar la certeza en cuanto a las cuestiones filosóficas; pero precisamente por su estrecha vinculación con especulaciones filosóficas sobre numerosos temas como la metafísica y la teodicea, el concepto quedó largo tiempo olvidado.

Fue así que la lógica matemática - también llamada lógica simbólica - se desarrolló efectivamente en el siglo XIX, especialmente a partir de George Boole (Inglaterra, 1815 - 1864), autor de la obra “Investigación de las leyes del pensamiento en que se fundan la teorías matemáticas de la lógica y la probabilidad”, en que se originara la conocida como “álgebra booleana”; que conjuntamente con Frege consiguió construir cálculos lógicos rigurosamente formalizados, que permitieron aplicar a los problemas lógicos los procedimientos matemáticos. Con ello sentaron los fundamentos operativos de la tecnología de la moderna computación, que fueran ulteriormente desarrollados por las teorías de Emil Post y el célebre matemático inglés Allan Mathison Turing (Inglaterra, 1912-1954), creador de la Automatic Digital Machine que por primera vez permitió realizar cálculos mecanizados mediante el empleo de algoritmos.

La obra culminante de la lógica simbólica, la constituye “Principia mathematica” de Sir Bertand Russell (Inglaterra, 1872-1970) y Alfred North Whitehead (Inglaterra, 1861 - U.S.A., 1947), realizada en tres tomos, entre los años 1910 y 1913. En esta obra, se sustenta el concepto de que las matemáticas puras se obtienen de premisas lógicas puras, de modo que los conceptos que las definen también son conceptos lógicos puros.

Cabe señalar, ante lo precedente, la evidencia que emerge en cuanto a la trascendental importancia que la lógica reviste en todos los órdenes de las actividades y del conocimiento humano; siendo demostrativa del estrecho vínculo que existe entre sus remotos orígenes filosóficos, su absoluta conexión con los fundamentos del conocimiento de las matemáticas y, por esa vía, su clara incidencia en los fundamentos teóricos y conceptuales de la computación. Ésta, a su vez, alcanza una repercusión trascendental no solamente en la informática en sí misma, sino en todas sus aplicaciones en la vida cotidiana; ya sea a nivel de la industria, las comunicaciones, y aún en una enorme variedad de elementos de uso y consumo cotidiano.

Teniendo clara conciencia de la forma en que, desde el fondo de los siglos, se proyecta hacia nosotros el esfuerzo intelectual de Aristóteles para habilitarnos a pensar correctamente; el empleo de las reglas de la lógica en otros campos, tales como las decisiones en el orden de la vida personal, política, económica y jurídica - en muchos de cuyos aspectos no suele ser frecuente aplicarla - debiera ser una importante preocupación para todos.

Los principios lógicos.

Como punto de partida del estudio de las leyes que rigen el proceso del razonamiento, se han establecido ciertas leyes fundamentales, que se consideran generales y anteriores a todos los que de ellos se deducen, que son producto de la intuición (resultado de un conocimiento directo e inmediato), y sobre los cuales se fundamentan todas las restantes normativas lógicas.

Estos principios se consideran verdades axiomáticas, evidentes por sí mismas, que no tienen que, ni necesitan, demostrarse.

2.3. Principios de la lógica formal y matemática

Son cuatro principios, los tres primeros enunciados por Aristóteles y el cuarto agregado por Leibnitz:

    El principio de identidad — Desde el punto de vista del ser, (ontológico) se enuncia expresando que todo objeto (de conocimiento) es igual a sí mismo. Sin embargo, desde el punto de vista lógico, su enunciado se relaciona con la estructura de las proposiciones, expresando que el principio de identidad se verifica cuando en una proposición verdadera el concepto contenido en el predicado es total o parcialmente idéntico al concepto contenido en el sujeto: “el triángulo tiene tres lados”.

    El principio de (no) contradicción — También tiene una formulación ontológica conforme a la cual un objeto (de conocimiento) no puede ser y al mismo tiempo no-ser. Desde el punto de vista lógico, este principio se enuncia expresando que dos proposiciones contradictorias no pueden ser ambas verdaderas; o que toda contradicción encierra una falsedad: Si es verdad que “el triángulo tiene tres lados”, no puede ser verdad que “el triángulo no tiene tres lados”.

    En relación a la lógica aristotélica, o clásica, puede decirse que el principio de no contradicción es el fundamental de todos; al punto de que existen quienes lo consideran el único principio, del cual se extraen los otros.

    El principio de tercero excluído — Este principio está estrechamente vinculado con el de no contradicción, al punto que a veces se lo distingue de éste expresando que mientras el de no contradicción expresa que dos proposiciones contradictorias no pueden ser ambas verdaderas, el de tercero excluído expresa que dos proposiciones contradictorias no pueden ambas ser falsas. Sin embargo, es más apropiado referir este principio al concepto de valor de verdad de la lógica clásica, conforme al cual una proposición solamente puede tener valor de verdadera o de falsa; y por lo tanto, entre la verdad o la falsedad, no existe una tercera posibilidad. En consecuencia, la relación con el principio de no contradicción queda mejor expresada en cuanto al principio de tercero excluído, si se enuncia en el sentido de que de dos proposiciones contradictorias, necesariamente una ha ser verdadera y la otra ha de ser falsa.

    El principio de razón suficiente — Este principio fue enunciado por Leibnitz en un sentido ontológico expresando que todo lo que existe tiene su razón de ser. Algunos filósofos le han dado una enunciación en sentido lógico, expresando que todo juicio es falso o verdadero, por alguna razón; y por lo tanto ha de ser posible justificar su veracidad o su falsedad por medio de la razón. De este principio, se considera derivado el:

        El principio de causalidad — Este principio, más propiamente ontológico, implica que todo lo que existe tiene una causa; por lo cual todo lo que es efecto de una causa puede convertirse a su vez en causa de otro efecto.

Lógica y verdad.

Como se ha expresado antes, la lógica formal o lógica pura, estudia las formas en que procede el raciocinio, en forma abstracta; es decir, prescindiendo de sus contenidos concretos. Por ese camino, procura encontrar las leyes formales universales del pensamiento correcto; de tal manera que produzcan ese resultado cualquiera sean los contenidos a que se apliquen.

De tal manera, la lógica formal se atiene no al contenido sino a la validez de los razonamientos, no a su materia sino a su forma; por lo cual la forma de un razonamiento correcto debe ser independiente:

    tanto de los objetos de que trate,

    como de las propiedades de esos objetos que puedan tomarse en consideración.

Como también se ha señalado antes, en el estudio del proceso de un razonamiento determinado, hecho a partir de ciertas premisas, no es permitido acudir a elementos que no estén ya contenidos en esas premisas; de modo tal que para la validez de la conclusión a que conduzca el razonamiento:

    si los datos del objeto de que tratan las premisas han sido previamente constatados para él, deben darse por verificables en cualquier otro objeto de la misma categoría.

    si en las premisas se considera determinadas propiedades, el razonamiento válido para ella debe continuar siéndolo tanto en las premisas como en la conclusión, si alguna de esas propiedades es sustituída por otra.

    si el razonamiento correcto tiene una determinada validez en un determinado momento de cualquiera de ellos, debe mantener la misma validez en cualquier otro momento; tanto respecto del objeto de la premisa como de sus propiedades.

La lógica clásica de las proposiciones, no admite más que dos posibilidades de validez del razonamiento, o valores de verdad: verdadero o falso; por ello, se trata de una lógica binaria.

No resulta admisible la existencia de un valor de verdad intermedio entre lo falso y lo verdadero, como podría ser lo “dudoso”; ni más débil que lo falso, como podría ser lo “imposible”.

Por lo tanto:

        estos valores de verdad se excluyen recíprocamente en forma absoluta,

        toda proposición encierra necesariamente uno de ellos.

En tales condiciones, la validez de un razonamiento no depende ni es consecuencia del valor de su conclusión; un razonamiento puede ser no válido, aunque su conclusión sea verdadera. Para que un razonamiento sea correcto, es necesario que en todos los raciocinios de la misma forma, partiendo de premisas verdaderas, la conclusión sea igualmente verdadera.

Un razonamiento puede ser válido si su conclusión es falsa, con tal que por lo menos una de sus premisas sea también falsa.

En este caso, se estará frente a lo que se denomina refutación por el absurdo. Cuando se razona en base a dos premisas, una de las cuales es dudosa, al efectuar un razonamiento correcto que conduce a una conclusión que es conocida como falsa, permitiría evidenciar la falsedad de la premisa de que se ha partido.

2.4. Relaciones de la lógica formal y matemática con la filosofía y el lenguaje

Lógica y filosofía - Sistemas lógicos.

La lógica formal, por lo antes visto, acude a una noción de verdad, pero no se ocupa ella misma de establecer la verdad material.

Para sus propios fines, la lógica utiliza una noción de verdad que aplica solamente para establecer la idea de una proposición verdadera, para legitimar la validez de un razonamiento como proceso lógico; pero esa noción de verdad no pertenece a la lógica misma, sino que la toma de alguna concepción filosófica previa, o de alguna estructura de pensamiento con que ya se está familiarizado.

Cuando la noción de verdad empleada en un razonamiento lógico proviene de una posición filosófica previamente elaborada, es evidente que la validez del razonamiento formal, a los fines de la verdad material, es solidaria aquella de la filosofía en que se fundamenta.

En los casos en que la noción de verdad se fundamenta en axiomas: proposiciones que en una determinada disciplina se dan por evidentes en sí mismas o por irrefutablemente demostradas - la lógica deja a cargo de esas disciplinas la decisión sobre el valor definitivo del razonamiento, en cuanto por más que en sí mismo sea correcto, su validez como verdad material dependerá necesariamente del valor propio de esos principios.

Esto es lo que determina que sea posible hablar de “sistemas lógicos”, sin que, en cuanto a ellos, se vea afectada la validez del proceso del razonamiento a consecuencia de la invalidez del valor de verdad inherente a cada sistema sustancial o material de razonamiento al que las leyes de la lógica sean aplicadas. En tales casos, la ausencia de verdad de las conclusiones no será imputable a la invalidez del razonamiento, sino a la invalidez de la función de verdad previamente aplicada a las premisas.

En este sentido, es posible considerar la lógica, en cuanto “ciencia” de los razonamientos, tanto como un conocimiento filosófico cuanto como un conocimiento no filosófico (o, más propiamente, a-filosófico).

La lógica filosófica - que era el punto de vista de los pensadores antiguos a partir de Aristóteles y de hecho hasta el siglo XIX - pretende fundamentarse sobre certezas de índole filosófica; particularmente respecto de cuestiones concernientes a la naturaleza de los actos del intelecto humano respecto del conocimiento contenido en las premisas y consiguientemente en las conclusiones.

En cambio, la lógica simbólica o matemática - o formalizada - de la época contemporánea, pretende liberarse de toda concepción filosófica, y elaborar sus teorías a partir de una noción propia de verdad postulada en algunas pocas propiedades simples; a partir de las cuales trata de elaborar el concepto de “raciocinio válido”.

De cualquier manera, lo que no puede perderse de vista es que, a la larga, esa lógica aséptica de toda filosofía, con toda su indiscutible validez desde el punto de vista de las ciencias abstractas como las matemáticas o la mecánica y sus útiles aplicaciones; no resulta aplicable a numerosos campos de la actividad humana, en los cuales es ineludible partir de premisas cuyo valor de verdad podrá parecer no objetivamente demostrable, pero que necesariamente implican presupuestos dotados de esa función de verdad en otros planos, particularmente aquellos éticos.

Tampoco puede perderse de vista que, en último análisis la lógica misma es un fenómeno de la realidad en la medida en que lo es el pensamiento humano; y que por lo tanto los principios lógicos aparecen como generalizaciones de observaciones realizadas sobre lo real. Las operaciones lógicas son, en definitiva, modos de ordenar las realidades efectivas o posibles, a los fines de alcanzar su adecuado conocimiento. La realidad misma, en este enfoque, son modos de comportamiento de lo que percibimos, respecto de lo que es nuestro conocimiento; y que exhiben si él es falso o verdadero.

De tal manera, si bien el buen funcionamiento de los procesos lógicos depende de su validez resultante de la verdad formal a que conduzcan, el objetivo instrumental final de la lógica es habilitar el verdadero conocimiento de la realidad; y para ello tanto es indispensable recoger esa realidad en las premisas como aplicar las leyes lógicas correctamente al extraer las conclusiones. De tal manera, en lo que se refiere a las actividades y conocimientos no abstractos (abstractos pueden serlo los matemáticos o los sistemas normativos de creación humana, como la legislación), el único sistema lógico admisible es el que parte del reconocimiento y la aceptación de la realidad en sus premisas.

Especialmente en las cuestiones políticas, jurídicas y económicas , los razonamientos lógicos siempre estarán doblemente condicionados, a los efectos de su factor material de verdad:

        por una parte en cuanto a la validez resultante de la propia corrección de la forma aplicada para el razonamiento;

        pero asimismo - y será seguramente lo más importante - al factor de verdad que afecte su sistema lógico en función de los valores de verdad que se asigne a sus premisas de partida, desde el punto de vista tanto filosófico, como de su correcto ajustamiento a su propia estructura normativa o, en su caso, a la realidad material.

Lógica, lenguaje y símbolos.

En la práctica, no es posible razonar directamente mediante conocimientos en un estado mental, sino por medio de representaciones simbólicas, que se expresan en objetos materiales perceptibles por medio de los sentidos, tales como palabras, signos, gráficos, fórmulas, etc.

El uso del lenguaje corriente lleva implícito un enfoque de sintaxis, que consiste en las relaciones formales entre los términos empleados; y un enfoque semántico, que consiste en el sentido de referencia que se atribuye a las palabras empleadas, su relación con los objetos y los conceptos de la realidad a que con su empleo se trata de aludir, y que es cierto modo es socialmente cambiante dentro de un mismo idioma, considerando distintos tiempos y lugares.

El lenguaje de uso corriente - tanto el coloquial como el culto, literario o el de ciertas disciplinas especializadas - resulta totalmente imperfecto en cuanto al rigor, claridad, abstracción y precisión requerido para la expresión de los conceptos y objetos en los estudios lógicos; especialmente considerando lo expuesto en cuanto a la prescindencia de los componentes de contenidos materiales de los procesos del razonamiento.

En función de ello, la lógica formal procura liberarse de la incidencia que, en cuanto al examen de las cuestiones formales del razonamiento, pueda tener el uso de términos de los lenguajes idiomáticos, creando para ser aplicado en el estudio y exposición de las leyes lógicas, un lenguaje simbólico propio, un lenguaje formal.

Este lenguaje simbólico propio de la lógica, tiene por otra parte la ventaja de su universalidad; en cuanto al prescindir del empleo de expresiones de un idioma real, permite su comprensión directa independientemente del idioma concreto de la persona que se aplique a su estudio.

Ese lenguaje simbólico es además lo que se denomina un metalenguaje, en el sentido de que se lo concibe como una forma de expresión que está “más allá” del uso mismo del lenguaje. En este sentido, se dice que el lenguaje-objeto es el que se utiliza, en tanto que el metalenguaje es aquel con el que se habla del otro; como cuando se aprende un idioma extranjero utilizando para ello el idioma propio.

Una expresión sencilla del lenguaje simbólico aplicable al análisis lógico puede ser similar al aplicado en matemáticas para representar una variable. De esta forma,

un silogismo simple como:

Todos los hombres son mortales

Sócrates es hombre,

entonces Sócrates es mortal    

puede expresarse bajo la forma:

Si A es B

y C es A

entonces C es B

De esta manera, la sustitución de una proposición por un síimbolo permite construir una teoría de las formas del razonamiento en las cuales intervengan componentes similares; de modo que sea posible reconocer facilmente en un proceso de razonamiento la presencia de una misma proposición, de un mismo concepto, o de una misma propiedad o atributo.

El símbolo que se emplea para representar una proposición se designa como variable proposicional; pero debe distinguirse muy cuidadosamente de lo que constituye un símbolo de variables en otras disciplinas, como el álgebra o los lenguajes informáticos de programación:

        Una variable algebraica de las que se emplean en las fórmulas matemáticas, físicas o de otras ciencias, es un símbolo de valor cuantitativo implícito; ya sea que se trate de despejarlo cuando constituye una incógnita o que se trate de examinar diversas situaciones en función de los distintos valores que puede asumir. De la misma forma, en programación informática, es un símbolo susceptible de tomar diversos valores (no necesariamente aritméticos o cuantitativos) con lo cuales el programa opera; y que pueden modificarse en el transcurso de su ejecución.

        Una variable proposicional, en cambio, representa una entidad lógica que se puede elegir o asignar con cierta libertad, dentro de un cierto ámbito conceptual - llamado “dominio de variación” de la variable - que se caracteriza por poseer ciertas propiedades comunes a todos sus miembros, pero sin que eso permita establecer qué otras propiedades podrán distinguir esa entidad, de otras pertenecientes al mismo dominio.

2.5.  Las proposiciones en lógica formal y matemática

Las proposiciones predicativas.

A pesar de lo que se ha expuesto antes en cuanto a los rasgos distintivos de la lógica simbólica o propiamente matemática, lo cierto es que históricamente la lógica nació como como lógica de los enunciados idiomáticos o proposiciones; estudiando la forma en que se relacionan esos enunciados ubicados en la posición de premisas o de conclusiones, para determinar si los procesos del razonamiento que conducen de unas a las otras resultan ser válidos.

La lógica originaria de Aristóteles, y ulteriormente complementada por las aportaciones de la escuela estoica y la escolástica se basa en el análisis de proposiciones predicativas, de las que se distinguen las proposiciones que cumplen función de premisas y de conclusión.

Posteriormente, debido a advertirse dificultades surgidas para explicar cierto tipo de inferencias a nivel de proposiciones, surge la necesidad de analizar las proposiciones según su composición interna, descomponiéndolas en sus términos, lo que da lugar a la llamada lógica de términos o de clases.

Las proposiciones predicativas no son otra cosa que expresiones de una estructura gramatical elemental, compuesta de sujeto, cópula y predicado: “La puerta está abierta”.

Es oportuno precisar que, a pesar de la similitud, en la proposición lógica la cópula, aún cuando se presenta gramaticalmente como una expresión verbal (que normalmente estará configurada por “es” o “no es”), no tiene la funcionalidad del verbo; sino que solamente determina la circunstancia de que el predicado se cumple o no se cumple en el sujeto.

Ha de tenerse en cuenta que cierto tipo de oraciones gramaticalmente consideradas, como las exclamativas, interrogativas, mandatos o expresivas de deseos, no revisten interés ninguno desde el punto de vista lógico; no son proposiciones enunciativas ni contienen conceptos o términos.

En una proposición predicativa se establece una relación entre un concepto que reviste la calidad de sujeto y otro que reviste la condición de predicado . La función de relacionamiento y de enunciar es cumplida por un verbo que opera como cópula afirmativa o negativa: “es”.

El análisis de las proposiciones realizado por la lógica antigua de las proposiciones predicativas, se detiene en la distinción del sujeto, el predicado, la cópula y algunas pocas relaciones formales entre ellos en cuanto a la naturaleza del sujeto, la extensión o comprensión del predicado.

El análisis de la proposición “La puerta está abierta” hace posible reconocer:

        Un sujeto, que piensa esa proposición.

        El acto de pensarla, que tiene lugar en la mente del sujeto pensante.

        El pensamiento mismo, independiente de que alguien lo piense, que puede ser pensado por muchos sujetos en diversos momentos, y que es siempre idéntico a sí mismo.

        Las percepciones o imágenes que eventualmente pueden acompañar la existencia de ese pensamiento en un sujeto y en circunstancias determinadas; como que esté actualmente viendo la puerta abierta, que sea la de la casa o la de una habitación, etc., o que no la vea sino que al leer esa frase en un libro recuerde alguna puerta que ha visto abierta, etc., o que simplemente se imagine una situación como la que enuncia la proposición.

        La expresión del pensamiento mediante las palabras que lo enuncian con su sentido o significado conceptual.

        El objeto a que el pensamiento se refiere, como concepto general; y que en este caso corresponde al concepto de lo que es una puerta y a la propiedad de estar abierta.

Desde el punto de vista de la lógica formal, se denomina objeto todo lo que es capaz de admitir un predicado cualquiera; todo lo que puede ser sujeto de un juicio.

En cuanto al objeto de las proposiciones lógicas, ellos pueden ser:

    Los objetos reales o sensibles - son los objetos que se presentan en la experiencia sensible, en la percepción externa o en la interior.

        Los que son aprehendidos mediante la percepción externa, son objetos físicos; que existen en el tiempo y en el espacio.

        Los objetos psíquicos, que existen en el tiempo pero no en el espacio, que son hechos exclusivamente en la conciencia de quien los experimenta, tales como un deseo, una decisión de la voluntad.

    Los objetos ideales - son entes que no existen en el tiempo ni en el espacio, son totalmente ajenos a la espacialidad como a la temporalidad; que no tienen la consistencia material ni efectiva o concreta de los objetos reales y que no obran activamente.

    Los objetos metafísicos - que se conocen exclusivamente a través del razonamiento según algunos filósofos; o mediante actos inmediatos de conocimiento a través de la intuición sea intelectual o no racional. Entre éstos, cabe destacar los valores, como cualidades de un orden especial, que no atañen al ser mismo de los objetos sino a su apreciación ética.

Una proposición enuncia una propiedad respecto de un objeto; pero en realidad las proposiciones son formuladas por lo común en relación a objetos del conocimiento que no constituyen la totalidad de lo real. De tal modo, es preciso que la proposición precise a qué objetos reales trata de referirse, lo que se denomina el supuesto de la proposición predicativa.

Sin embargo, resulta obvio que no es posible introducir en la proposición el objeto mismo respecto del cual se enuncia un juicio, por lo cual ese objeto debe ser expresado mediante un símbolo (al que se denomina sujeto de la proposición) constituído por un término que representa el objeto.

El término es la expresión lógica de un concepto. Si bien varía según los idiomas, el concepto que expresa es el mismo: silla, chair, cadeira, chaise, etc. Dentro de un mismo idioma pueden existir distintos términos para expresar el mismo concepto, como se da en el caso de los sinónimos.

Los términos se clasifican en:

    Unívocos — Cuando terminantemente son susceptibles de un único significado: banco, planta, trapecio.

    Equívocos — Cuando son susceptibles de emplearse con significados diferentes y requieren precisarse para concretarlos: ley (física, jurídica).

    Análogos — Cuando teniendo significados claramente diferentes, no obstante esos significados son semejantes en cuanto a alguna propiedad: banco, silla, sofá.

El predicado es lo que expresa la propiedad que la proposición enuncia respecto del sujeto. El predicado debe expresar una cierta idea respecto del sujeto, y un cierto conocimiento que existe en la mente, un pensamiento que resulta inteligible en cuanto es entendido.

Los filósofos antiguos percibían que ningún conocimiento de la mente puede hacer comprensible a la misma vez la totalidad de las propiedades que pueden predicarse de un objeto; por lo cual el predicado debe limitarse a expresar una propiedad por vez, aún cuando pueda ser muy compleja.

El predicado se distingue del sujeto, porque en lugar de referirse a un sujeto real con todas sus propiedades, destaca una de las cualidades posibles de un objeto.

De un mismo objeto puede afirmarse en dos proposiciones por separado, que es una mesa y que está sucia; pero también es posible afirmar en una proposición que reúne las dos anteriores, que “la mesa está sucia”.

Pero las cosas cambian si se trata de aplicar una negación; porque entonces hay que prestar atención a si lo que se va a negar es que sea una mesa, o se va a negar que está sucia.

Allí es posible advertir que, en realidad en la primera proposición en que se afirmó que el objeto era una mesa, la mesa no era sujeto sino predicado; y que en la segunda proposición que afirmaba que el objeto estaba sucio, en realidad la cualidad mesa era un atributo del objeto.

Un atributo es un anterior predicado del objeto, que se realiza en él efectivamente. El atributo, como tal, no puede ser puesto en duda; a lo sumo podrá ponerse en duda que se realice en el sujeto. Por lo tanto, aunque el sujeto sea concreto, el atributo que lo determina es una abstracción; por lo que un atributo aislado no constituye jamás un sujeto, sino una cualidad del objeto que constituye el sujeto.

Cuando el sujeto se refiere, uno por uno, a todos los objetos que poseen el atributo y que lo poseen cada uno por sí e independientemente de los otros, se trata de un universal; y si no se refiere a cada uno de los objetos que verifican el atributo, se trata de un sujeto particular. Pero los términos universal y particular no se toman, en este tema, en un sentido equivalente al que tienen en el lenguaje corriente.

El sujeto universal no queda referido a todos los objetos, sino solamente a aquellos que poseen el atributo; ni tampoco se refiere a todos los objetos que integran una colectividad o conjunto, sino a sus componentes individuales considerados uno por uno. Cuando se afirma que “todos los hombres son mortales”, no se hace referencia a todos los que son mortales, ni a que el conjunto de hombres lo sea, sino a que lo son cada uno, uno por uno.

El sujeto particular, no se refiere a un objeto considerado en sentido individual, sino que expresa que no todos los objetos poseen el atributo. No hace referencia a partes de objetos sino a objetos enteros.

En cierto casos, el objeto que es único está formado por la reunión de varios objetos individuales; pero el sujeto no es cada uno de los individuos sino su conjunto: “el Ejército” es un sujeto en este sentido, no la reunión de los militares individuales. Pero a veces se menciona el conjunto para aplicar el predicado a cada uno de sus integrantes: “El ejército es voluntario” indica que cada uno de sus integrantes lo integra voluntariamente; por lo que en realidad se trata de un sujeto general pero no universal sino particular.

El mismo concepto puede ser aplicado no ya respecto de sujeto sino del predicado. En ese sentido, en cuanto el predicado expresa una propiedad enunciada respecto del sujeto, el atributo que sea poseído por todos y cada uno de los componentes del sujeto, uno por uno, habrá de ser universal: los seres humanos tienen cabellos.

Sin embargo, cuando el atributo sea una cualidad de un predicado anterior, aunque éste sea universal en cuanto se encuentre uno por uno en todos los objetos que componen el sujeto, puede que ya no sea universal sino particular, porque aunque todos posean el predicado anterior, (posean cabellos) no todos cumplan el nuevo atributo, como ocurrriría con la condición de rubios de los cabellos.

Pero resulta visible que la universalidad o particularidad del predicado está en gran medida dependiendo de aquella del sujeto; como ocurriría si para los cabellos rubios el sujeto no fueran los seres humanos, sino los escandinavos.

Las estructuras del pensamiento.

En la lógica clásica aristotélica y sus desarrollos medievales, se estudiaban las estructuras del pensamiento, distinguiendo tres componentes:

        Los conceptos — que actualmente se denominan clases y se expresan mediante los términos;

        Los juicios — que actualmente se denominan enunciados o proposiciones, y que expresan relaciones entre los conceptos;

        Los razonamientos — que también se denominan inferencias y que a su vez expresan relaciones entre los enunciados.

2.6. Conceptos en la  lógica formal y matemática

Los conceptos.

El concepto es una idea general y abstracta, o la representación mental, intelectual de un objeto. Son conceptos las ideas expresadas con las expresiones “árbol”, “automóvil”, “rojo”, “7”, etc. El concepto es la estructura lógica primaria, la más simple. Es una abstracción, como decía Aristóteles, un “universal”, una simple aprehensión.

En la percepción, el objeto está presente en los sentidos. La imagen, al igual que en el concepto, es una representación mental, es una representación sensible, individual (singular) y concreta de un objeto.

Desde el punto de vista lógico, es posible distinguir como propiedades del concepto:

    La comprensión — que es el conjunto de características o notas especiales (connotación) del objeto, que le son aplicables; como respecto del concepto “triángulo”, se refiere a una figura geométrica con tres lados y tres ángulos que suman 180º.

    La extensión — que es el conjunto de todos los objetos que abarca el concepto (denotación), como respecto del concepto “triángulo” , se refiere al triángulo percibido (extensión individual), a algunos triángulos (extensión particular), o a todos los triángulos (extensión universal).

Entre la comprensión y la extensión de los conceptos que guardan entre sí una relación de género a especie, existe una relación inversa: cuando aumenta la comprensión disminuye la extensión; de tal modo que si al concepto “hombre” se aplica un predicado de que es susceptible, como “hombre blanco”, ocurre que existe una mayor comprensión pero se reduce la extensión, en la medida en que quedan excluídos todos los que tienen otra pigmentación de piel.

Secuencia de conceptos de comprensión creciente y extensión decreciente

Máxima extensión                                                                      

Ser –› Ser vivo –› Vegetal –› Árbol –› Sauce –› Sauce llorón

                                                                       Máxima comprensión

Los conceptos se clasifican atendiendo a su comprensión o a su extensión, y también por mutua oposición:

    Por su Comprensión

        Simples — son los que se refieren a una sola esencia: gato, número, quiste.

        Complejos — son los que se refieren a una esencia predicada con un referente, y por lo tanto tienen mayor comprensión (pero menor extensión): gato montés, número primo, quiste hidático.

        Abstractos — En realidad, todo concepto es una abstracción por cuanto no tiene existencia real sino ideal, en cuanto existe en la mente bajo la forma de una idea. Pero en este sentido, se designan como abstractos aquellos conceptos que pueden significar esencias, formas o cualidades, separados de un sujeto: elegancia, blancura, inquietud, inteligibilidad, sencillez, corrección, plenitud, etc.

        Concretos — son los que significan cualidades o esencias abstractas pero realizadas en un sujeto, o que presuponen la existencia de un sujeto: elegante, blanco, inquieto, inteligible, sencillo, correcto, pleno, etc.

    Por su Extensión

        Universales — Cuando el conjunto abarcado por el concepto comprende la totalidad de las individualidades: perro .

        Particulares — Cuando ese mismo conjunto comprende un número determinado de las individualidades: perro negro.

        Singulares o individuales — Cuando se refiere a un individuo determinado: mi perro.

    Por Mutua oposición

        Contrarios — Cuando se trata de dos conceptos que, si bien son opuestos entre sí, permiten situaciones intermedias: alto –› mediano –› bajo.

        Contradictorios — Cuando se trata de una oposición en que el segundo concepto es el primero negado; por lo cual no pueden existir ambos a la vez; perro, no-perro.

Las clases.

Se entiende por clase un conjunto que abarca a todos los individuos que tienen en común un carácter cualquiera.

Respecto de las clases se consideran diversas relaciones:

    Relaciones de inclusión — Se trata del caso en que todos los miembros de la clase B están incluídos en la clase A, pero no hay reciprocidad: “Todos los hombres son mortales”.

    Relaciones de identidad — Se trata del caso en que cada miembro de una clase está comprendidos en la otra clase, y recíprocamente: “Todos los triágulos equiláteros, son equiángulos”.

    Relaciones de suma (lógica), siendo ella la reunión — Se trata del caso en que todas las entidades de una clase están comprendidas en una u otra de las clases que se suman, o en ambas: “pájaro azul”, es la suma de la clase “pájaro” y la clase “azul”.

    Relaciones de producto — Se trata del caso en que todas las entidades de una clase están comprendidas a la vez en las otras dos clases que se consideran: “animales vivíparos”, es el producto de la clase “animales” y la clase “vivíparos”.

    Relaciones de complementariedad — Se trata del caso en que los miembros de una clase son todos los que no están comprendidos en la otra clase que se considera: “sanos”, es el complemento de “enfermos”.

    Relaciones de exclusión — Se trata del caso en que ninguno de los miembros de una clase pueden ser miembros de la otra clase que se considera: “triángulos”, es el excluyente de “círculos”.

Los juicios.

Un juicio es para los clásicos una expresión que, en forma enunciativa o atributiva, relaciona dos o más conceptos. Actualmente se le define más precisamente como cualquier afirmación susceptible de ser considerada verdadera o falsa. Los juicios se expresan mediante proposiciones predicativas.

Los juicios se distinguen en:

        Analíticos — que son aquellos en los que el predicado analiza o desarrolla un concepto que ya está implícito en el sujeto.

        Sintéticos — que son aquellos en los que el predicado proporciona una información adicional, que no estaba comprendida en el concepo del sujeto.

Existe asimismo una clasificación de los juicios, realizada por el filósofo Emmanuel Kant, que distingue cuatro grupos:

    Juicios de cantidad — en que la clasificación se efectúa atendiendo a la extensión con que está tomado el concepto sujeto (S) dentro de la proposición, siguiendo la forma

        Universales: Todo S es P

        Particulares: Algunos S es P

        Singulares: Un S es P.

    Juicios de calidad — en que la clasificación se efectúa atendiendo a la cópula o nexo, siguiendo la forma

        Afirmativos: S es P

        Negativos: S no es P

        Indefinidos: S es no P

    Esta clasificación es susceptible de combinarse con la anterior, dando lugar a universal afirmativo o negativo, particular afirmativo o negativo, singular afirmativo o negativo.

    Juicios de relación — en que la clasificación se efectúa atendiendo al tipo de vínculo que se establece entre el sujeto y el predicado, lo que origina

        Juicios Categóricos simples: S es P

        Juicios Hipotéticos que son compuestos: Si S es P, entonces Q es R

        Juicios Disyuntivos que también son compuestos:

            incluyentes: S es P o S es Q

            excluyentes: S es P o Q es R

    Juicios de modalidad — en que la clasificación se efectúa atendiendo al modo o forma en que el predicado se atribuye al sujeto, lo que origina

        Juicios Problemáticos— que expresan posibilidad: S posiblemente es P

        Juicios Asertóricos o asertivos — que expresan una verdad: S efectivamente es P

        Juicios Apodícticos — que expresan una esencialidad o necesariedad, algo que no puede ser de otra manera: El triángulo es un trilátero.

Es posible hacer otra clasificación de los juicios, a partir de los objetos a que se refieran:

    Juicios reales — en los que el objeto que opera como sujeto es un objeto real, tanto físico como psíquico; y el predicado es producto de la experiencia: “Las películas de cine son entretenidas”.

    Juicios ideales — en los que el objeto que opera como sujeto es un objeto ideal o ab stracto, del tipo de los juicios lógicos o matemáticos: “Dos cantidades iguales a una tercera, son iguales entre sí ”.

    Juicios metafísicos — en los que el objeto que opera como sujeto es un objeto metafísico: “El alma es inmortal”.

    Juicios de valor — en los que el objeto que opera como sujeto es un concepto de valor: “Pedrito es un buen amigo”.

El razonamiento.

Para los filósofos clásicos, el hombre puede adquirir conocimiento por medio de varios métodos:

        Mediante la intuición — que constituye una forma directa e inmediata de alcanzar un conocimiento, a través de su inteligencia: 2 + 2 = 4.

        Mediante la percepción sensible — o sea a través de lo que percibe por medio de sus sentidos: el sol calienta la piedra - conocimiento empírico y verificable.

        Mediante los procesos del razonamiento — a partir de proposiciones basadas en el conocimiento anteriormente adquirido por medio de los métodos anteriores o anteriores razonamientos, que conducen a nuevos conocimientos que surgen como conclusión de relacionar esas proposiciones, a condición de ser correctamente realizados.

El raciocinio ha sido definido antes como un modo de adquirir conocimiento a partir de conocimientos anteriores, que hace posible extraer nuevas conclusiones.

Desde el punto de vista lógico, el razonamiento es la forma de pensamiento más compleja, en cuanto consiste en establecer una relación derivativa entre proposiciones; de modo que de una o más proposiciones, premisas, se arribe a una conclusión consecuente.

A ese proceso de derivación, los antiguos lo llamaron inferencia; expresión derivada del latín, que significa “llegar a alguna parte”. Por lo tanto, no hay razonamiento sin inferencia; pero debe distinguirse entre la verdad material de las proposiciones y la validez formal, o corrección, de la inferencia.

Se identifican tres formas de razonamiento:

    Razonamiento inductivo — en el cual el proceso racional parte de lo particular y avanza hacia lo general o universal. El punto de partida puede ser completo o incompleto, aunque lo más probable es que sea incompleto. Es el caso general de las ciencias que proceden a partir de la observación o la experimentación, en que se dispone de un número limitado de casos, de los cuales se extrae una conclusión general.

    Razonamiento deductivo — en el cual el proceso racional parte de lo universal y lo refiere a lo particular; por lo cual se obtiene una conclusión forzosa.

    Razonamiento analógico — en el cual el proceso racional parte de lo particular y asimismo llega a lo particular en base a la extensión de las cualidades de algunas propiedades comunes, hacia otras similares.

La deducción es el tipo de razonamiento en que las premisas ya conducen a la conclusión, de una manera tal que de las premisas se sigue la conclusión como la consecuencia única y necesaria, con independencia del contenido o materia de aquellas; de modo que la verdad formal de la conclusión depende de que ella sea efectivamente necesaria, y la verdad material depende de que sean verdaderas las premisas mismas.

Ello ocurre así, debido a la existencia de una relación entre los enunciados, conforme a la cual las premisas, de por sí, implican la conclusión como su consecuente, de tal manera que es imposible no aceptar la verdad de la conclusión como esa consecuencia necesaria.

Significa eso que el concepto de necesidad lógica que se manifiesta en la deducción deriva de la negación de la contradicción; el principio de no contradicción, que se capta intuitivamente, conforme al cual no es posible afirmar y negar una cosa al mismo tiempo y respecto de las mismas condiciones.

Las proposiciones categóricas.

Se denominan proposiciones categóricas son las que afirman o niegan que una clase esté incluída en otra, total o parcialmente.

Estas proposiciones son clasificadas en la lógica clásica conforme a su cantidad y su cualidad. Por su cantidad:

    Una proposición es universal cuando el concepto o clase que constituye su sujeto está considerado en toda su extensión; en cuyo caso se emplea el cuantificador “todos” o “ninguno”.

    Una proposición es particular cuando el concepto o clase que constituye su sujeto está considerado en parte de su extensión; en cuyo caso se emplea el cuantificador “algunos”.

Por su cualidad se distinguen:

    Una proposición es afirmativa cuando el predicado afirma algo del sujeto; en cuyo caso se emplea la cópula “es”

    Una proposición es negativa cuando el predicado niega algo del sujeto ; en cuyo caso se emplea la cópula “no es”

Desde los tiempos de los antiguos lógicos, existe una convención por la cual se emplea una notación simbólica de las proposiciones con sujetos generales, (cuya calificante se extiende a la proposición misma) basada en las primeras vocales de las palabras “AffIrmo” y “nEgO”:

    A — para las proposiciones universales afirmativas.

    E — para las proposiciones universales negativas.

    I — para las proposiciones particulares afirmativas.

    O — para las proposiciones particulares negativas.

El silogismo.

Un silogismo es un razonamiento en el cual la conclusión es deducida a partir de dos premisas. Por este motivo, en la lógica clásica se los denomina inferencias mediatas.

El silogismo categórico es el que se compone de tres proposiciones categóricas, que tienen tres términos dos de los cuales aparecen en las proposiciones iniciales, y cuya conclusión es una proposición categórica que contiene dos de los tres términos del silogismo, uno como sujeto y el otro como predicado:

Todos los hombres son mortales

Sócrates es hombre

Sócrates es mortal

La conclusión se integra, en consecuencia, como uno de los términos que es tomado de la primera premisa, y otro que es tomado de la segunda premisa, cada uno de los cuales ocupa sea el lugar de sujeto sea el de predicado de la conclusión.

El término que ocupa en la conclusión la posición del predicado, es denominado término mayor, el que ocupa el lugar del sujeto de la conclusión es denominado término menor; y el que apareciendo en las premisas no lo hace en la conclusión es denominado término medio.

La premisa de la cual es tomado el término mayor, se denomina premisa mayor; en tanto que la premisa de la que es tomado el término menor, se denomina premisa menor.

Un silogismo se representa simbolicamente con un formato gráfico similar al de una suma aritmética:

Premisa mayor: A — B

Premisa menor: C — D

Conclusión:       E — F

Se llama modo de un silogismo, la expresión del agrupamiento de sus premisas y su conclusión, siguiendo la codificación literal de las proposiciones categóricas, (A, E, I, O).

Pero como - según se demuestra - no es suficiente con el modo para describir precisamente la estructura de un silogismo, se adiciona a ello lo que se denomina la figura del silogismo, que se determina según el término medio, el cual puede asumir cuatro figuras posibles:

M — P

S — M

S — P

               

P — M

S — M

S — P

               

M — P

M — S

S — P

               

P — M

M — S

S — P

La combinación de 64 modos diferentes posibles para cada una de las cuatro figuras, determina la posibilidad de 256 formas distintas para los silogismos categóricos; aunque solamente algunas conducen a conclusiones válidas.

Para que un silogismo sea válido debe observar ciertas reglas, el incumplimiento de cualquiera de las cuales determina que pierda validez.

Hay dos grupos de reglas:

    Reglas de los términos — Son cuatro reglas que determinan:

        — Todo silogismo categórico debe contener necesariamente tres términos, uno de los cuales debe ser utilizado en el mismo sentido en todo el razonamiento.

        — El término medio debe ser un concepto que por lo menos en una de las premisas ha de poseer extensión universal; es decir, esté empleado con el alcance de comprender a la totalidad de los objetos integrantes de la clase a que se refiere.

        — En la conclusión no puede haber ningún término que contenga el concepto con una extensión mayor que aquella con que se encuentre empleado en las premisas.

        — El término medio debe aparecer en las dos premisas, pero no en la conclusión.

    Reglas de las proposiciones — También son cuatro reglas que determinan:

        — De dos premisas negativas no es posible extraer ninguna conclusión. Por lo tanto, por lo menos una de las premisas debe ser afirmativa.

        — De dos premisas particulares no es posible extraer ninguna conclusión. Por lo tanto, por lo menos una de las premisas debe ser general.

        — De dos premisas afirmativas no es posible extraer una conclusión negativa.

        — Si en un silogismo existe una premisa particular, o una premisa negativa, la conclusión deberá ser, respectivamene, particular o negativa.

    Por lo tanto, frente a un silogismo determinado a los efectos de determinar si posee validez como razonamiento, en primer término debe analizarse su modo para establecer si cumple con las reglas de las proposiciones; y luego, en caso afirmativo, examinar su cumple con las reglas de los términos.

El silogismo hipotético.

Al contrario del silogismo categórico que ambas premisas constituyen proposiciones categóricas y por lo tanto también lo es la conclusión, el silogismo hipotético es un razonamiento en el cual por lo menos una de sus premisas no es una proposición categórica sino una proposición hipotética o condicional.

Se distinguen dos formas de silogismos hipotéticos:

    El silogismo hipotético constructivo — en el cual la primera premisa formula una afirmación condicional, la segunda premisa afirma el cumplimiento de la condición; por lo cual la conclusión da por producida la consecuencia del cumplimiento de la condición. Se conoce como silogismo modus ponens.

    El silogismo hipotético destructivo — es la forma n egativa del anterior, ya que en la primera premisa se formula una afirmación condicional, pero en la segunda premisa afirma el no cumplimiento de la condición; por lo cual la conclusión da por producida la consecuencia del no cumplimiento de la condición. Se conoce como silogismo modus tollens.

    Estas formas de silogismo son de gran utilidad en la investigación científica, al plantearse una hipótesis como explicación de un fenómeno; para luego verificar si en los hechos las hipótesis resulta confirmada o no, siendo el instrumento del razonamiento inductivo.

http://www.liceodigital.com/filosofia/logica.htm

2.7. Conceptos en Lógica Dialéctica

Concepto

(del latín «concipere»: concebir, aprehender). Una de las formas del reflejo del mundo en el pensar, [76] mediante la cual se entra en conocimiento de la esencia de los fenómenos y procesos, se generalizan los aspectos y los caracteres fundamentales de los mismos. El concepto es producto del conocimiento –que se desarrolla históricamente– el cual, elevándose de un grado inferior a otro superior, resume en conceptos más profundos, sobre la base de la práctica los resultados obtenidos, perfecciona y puntualiza los conceptos viejos, formula otros nuevos. De ahí que los conceptos no sean estáticos, definitivos, absolutos, sino que se hallen en estado de desarrollo, de cambio y progreso en el sentido de proporcionar un reflejo más adecuado de la realidad. Los conceptos constituyen el sentido (Significado y sentido) de las palabras del lenguaje. La función lógica básica del concepto estriba en la separación mental, según determinados caracteres de objetos que nos interesan en la práctica y en el conocer. Gracias a esta función, los conceptos enlazan las palabras con determinados objetos, lo cual hace posible establecer el significado exacto de las palabras y operar con ellas en el proceso del pensar. Separar clases de objetos y generalizarlos en conceptos es condición necesaria para el conocimiento de las leyes de la naturaleza. Cada ciencia opera con determinados conceptos en los que se concentran los conocimientos que ha acumulado. Los propios conceptos, según caracterización de Lenin, constituyen el producto superior del cerebro, a su vez producto superior de la materia (véase t. XXXVIII, pág. 157). La formación de conceptos, el paso a un concepto partiendo de las formas sensoriales del reflejo, constituye un proceso complejo en el que se aplican métodos de conocimiento como la comparación, el análisis y la síntesis, la abstracción, la idealización, la generalización y formas más o menos complejas del silogismo. A menudo, los conceptos de la ciencia se elaboran primero partiendo de conjeturas hipotéticas acerca de la existencia de determinados objetos y su naturaleza (así surgió, por ejemplo, el concepto de átomo). Gracias al conocimiento de las leyes y de las tendencias de desarrollo es posible formar el concepto de ciertos objetos antes de que estos mismos surjan (concepto de comunismo). Resulta, pues, que en la formación de los concentos se manifiestan la actividad y el carácter creador del pensamiento, pese a que el éxito en la utilización de los conceptos creados depende por entero de la exactitud con que en ellos se refleje la realidad objetiva. Todo concepto forma una abstracción, con lo cual aparentemente se aparta de la realidad. Sin embargo, gracias a los conceptos se obtiene un conocimiento más profundo de la realidad poniendo de relieve e investigando partes esenciales de la misma. Además lo concreto no reflejado plenamente en conceptos aislados puede ser reproducido con un grado mayor o menor de plenitud por medio de un conjunto de conceptos que reflejen las distintas partes de la cosa concreta dada. Todos los conceptos científicos, en tanto que reflejo de la realidad, son tan móviles y flexibles como los objetos y los procesos a los que generalizan. Según expresión de Lenin, los conceptos han de ser «tallados, trabajados, flexibles, móviles, relativos, ligados entre sí, unidos en las oposiciones, a fin de abarcar el mundo» (t. XXXVIII, pág. 136). La tesis relativa a la flexibilidad, movilidad, interconexión y transiciones de los conceptos constituye una de las partes más esenciales de la teoría concerniente a la lógica dialéctica del concepto. Aunque en el concepto se destaca sólo lo general, ello no significa que éste se contraponga a lo singular y a lo particular. Es más, los conceptos científicos contienen gran riqueza de lo particular, de lo individual, de lo singular. Únicamente sobre la base de lo general, resulta posible separar y conocer grupos especiales (especies) de objetos y también objetos particulares de una clase. El enfoque materialista dialéctico del concepto es confirmado por el desarrollo de toda la ciencia moderna y sirve de método del conocimiento cientifico.

http://www.filosofia.org/enc/ros/concepto.htm

3.       Lógica dialéctica

Materialismo dialéctico y lógica dialéctica

Submitted by psicologo carlos

Lic. Carlos J. Muñoz Aguilar.

A continuación presento el interesante trabajo de A.G. Spirkin sobre el materialismo dialéctico y la lógica dialéctica.

El materialismo dialéctico es la ciencia que estudia las relaciones entre la conciencia y el mundo material objetivo, las leyes más generales del movimiento y desarrollo de la naturaleza, de la sociedad y del conocimiento. La filosofía del marxismo se llama materialismo dialéctico porque constituye la unidad orgánica del materialismo y la dialéctica. Es materialista porque parte del reconocimiento de la materia como base única del mundo, considerando la conciencia como una propiedad de la material altamente organizada, como una función del cerebro, como un reflejo del mundo objetivo; es dialéctico porque reconoce la concatenación universal de los objetos y fenómenos del mundo, el movimiento y desarrollo de éste como resultado de contradicciones internas que actúan dentro de él.

El materialismo considera el ser social no sólo en forma de objeto que se opone al hombre, sino también subjetivamente, en forma de la actividad práctica histórico-concreta del hombre. Tal concepción de la práctica proporcionaba base científica a la teoría del conocimiento, a la cual el marxismo llegó desde el punto de vista histórico-social en vez del enfoque abstracto del materialismo contemplativo, que consideraba los vínculos entre los hombre como algo puramente natural.

La diferencia sustancial de la filosofía del marxismo respecto de todos los sistemas filosóficos anteriores consiste en que sus ideas penetran en la masa del pueblo trabajador, que es quien las lleva a la práctica; en cuanto a ella, se desarrolla justamente sobre la base de la práctica histórica de las masas populares. El mundo es modificado por la actividad práctica revolucionaria de las masas populares que han hecho suyas las ideas del marxismo. “De la misma manera que la filosofía encuentra en el proletariado su arma material, el proletariado encuentra en la filosofía su arma espiritual…” (C. Marx y F. Engels)

Lenin profundizó la concepción de las categorías fundamentales de la dialéctica materialista: materia y formas de su movimiento, espacio y tiempo, causalidad, libertad y necesidad, posibilidad y realidad, forma y contenido, etc. Lenin impulsó la concepción de la ley de la unidad y lucha de los contrarios como ley fundamental el mundo objetivo y del conocimiento, como esencia y núcleo de la dialéctica, formulando proposiciones esenciales sobre las dos concepciones del desarrollo: desarrollo como disminución y aumento, como repetición y desarrollo como unidad de contrarios, de desdoblamiento de lo único en contrarios que se excluyen recíprocamente y se hallan en interacción.

Señaló que el conocimiento va del contenido vivo al pensamiento abstracto y de éste a la práctica; que la conciencia del hombre es activa, pues no se limita a reflejar el mundo, sino dentro de la práctica humana participa en su transformación revolucionaria. Formuló la teoría de la verdad objetiva, relativa y absoluta, y señaló su intervinculación dialéctica. El punto central en la doctrina de Lenin sobre la verdad lo ocupa el problema del carácter concreto de la misma. Indicó que “la esencia misma, el alma viva del marxismo es el análisis concreto de la situación concreta”.

El enfoque dialéctico del conocimiento es, ante todo, un enfoque histórico. En su elaboración de la teoría del conocimiento Lenin concedía la atención particular a la necesidad del enfoque histórico, al examen de las formas de pensar en unidad con su contenido, y en relación con ello formuló las proposiciones fundamentales de la unidad de la dialéctica, la lógica y la teoría del conocimiento, determinó los principios fundamentales de la lógica dialéctica y señaló las vías de investigación del problema de la sucesión histórica en la formación de las categorías del pensamiento. Lenin determinó la vía que debía seguirse: la historia de la filosofía, la historia de las distintas ciencias, la historia del desarrollo mental del niño, la historia del desarrollo mental de los animales, la historia del idioma, más la psicología y la fisiología de los órganos de los sentidos: tales son las regiones del saber de las que debe formarse la teoría del conocimiento y la dialéctica.

MATERIALISMO Y CONCIENCIA.

El materialismo dialéctico parte del reconocimiento de la prioridad de la materia y del carácter secundario de la conciencia y considera que el mundo es la materia en movimiento. La materia no puede ser creada ni destruida; es eterna e infinita. El mundo es la diversidad de formas de movimiento de la materia, infinitas en el espacio y en el tiempo.

Los datos de la ciencia moderna señalan que los procesos físicos, químicos, biológicos y sociales que tienen lugar en el mundo, no son algo encerrado en sí y singularizado. Todos ellos pueden transformarse recíprocamente, puesto que entre ellos existe una vinculación universal, concatenación e interacción.

Según el materialismo dialéctico, la conciencia es una función del cerebro, un reflejo del mundo objetivo. Eso significa que la conciencia viene determinada fuera de la actividad natural y social existente y operante en el cerebro. El proceso de toma de conciencia del mundo y la actividad psíquica surgen y se desarrollan en el proceso de interacción real del hombre con el mundo a través de sus relaciones sociales. Los objetos, sus propiedades y relaciones, al ser reflejadas en el cerebro, existen en él en forma de imágenes, idealmente. El cerebro no es el origen, sino el órgano de la conciencia, es decir, la parte del cuerpo humano en la que el objeto que actúa sobre ella se transforma y adquiere la forma ideal de su ser. Lo ideal no es una substancia particular ni un acompañante secundario de los procesos materiales que transcurren en la corteza del cerebro, sino un producto de la actividad del cerebro, la imagen subjetiva del mundo objetivo.

DIALÉCTICA DEL PROCESO DEL CONOCIMIENTO.

El materialismo dialéctico parte del hecho de que el conocimiento es un reflejo del mundo en la conciencia del hombre, inseparable del cambio del objeto de conocimiento en el curso de la práctica social. La práctica es base de la formación y desarrollo del conocimiento en todos sus grados, fuente del saber, estímulo fundamental y meta del conocimiento, esfera de aplicación del conocimiento, criterio de la verdad de los resultados del proceso de conocimiento y “determinante de los vínculos del objeto con aquello que el hombre necesita” (Lenin). La actividad práctica del hombre se halla unida obligatoriamente a la actividad cognoscitiva.

El proceso de conocimiento comienza con la sensación y la percepción. El paso del conocimiento sensorial al pensamiento lógico es un salto del conocimiento de lo individual, casual y exterior, al conocimiento generalizado de lo sustancial y sometido a leyes, de las formas tangibles del reflejo a aquellas formas que se hallan desprovistas de la “sustancia de sensoriedad”.

Lenin escribía que “cualquier verdad se la hace …, si se la exagera, si se le aplica más allá de los límites que es dable hacerlo, puede ser llevada al absurdo, y en las condiciones indicadas, se transforma inevitablemente en absurdo”

3.1. Dialèctica como lógica y teoría del conocimiento

LA DIALÉCTICA COMO LÓGICA Y COMO TEORÍA DEL CONOCIMIENTO.

La lógica dialéctica no es otra cosa sino la historia y el proceso del conocimiento en su elaboración lógica. Junto a la lógica dialéctica existe la lógica formal, la cual estudia las leyes de relación entre las premisas y las conclusiones y las leyes de la demostración. El materialismo dialéctico se apoya en el análisis de las categorías en los principios de la teoría marxista-leninista del reflejo y de la dialéctica. El estudio y la exposición de las categorías y leyes del materialismo dialéctico debe partir de la unidad de los métodos lógicos e históricos, lo cual a su vez, expresa la lógica objetiva de las relaciones de las cosas y su desarrollo, el desenvolvimiento en relación con la complicación de sus relaciones, ya que, según Marx, “la marcha del pensamiento abstracto, que asciende de lo más simple a lo complejo, corresponde al proceso histórico real”.

En la base del sistema de la dialéctica materialista que se desenvuelve históricamente, debe ser colocada una categoría que no necesite de premisa alguna y que ella misma constituya la premisa de partida para la investigación de las categorías restantes. Así es la categoría de materia. A ella le siguen las formas fundamentales de existencia de la materia: MOVIMIENTO, ESPACIO Y TIEMPO. Los diversos estados de la materia se conocen sólo a través del movimiento.

La CALIDAD es el rasgo específico del objeto dado, su peculiaridad, lo que le diferencia de los otros objetos. El proceso de conocimiento se realiza de tal modo que la conciencia de la calidad antecede al conocimiento de la CANTIDAD. Al mismo tiempo que descubre la determinación cualitativa y cuantitativa de las cosas, el hombre establece su DIFERENCIA y su IDENTIDAD, que son uno de los escalones elementales del conocimiento.

Todos los objetos poseen aspectos exteriores que se alcanzan directamente con la sensación y la percepción, y aspectos internos, el conocimiento de los cuales se alcanza por vía mediata, mediante el pensamiento abstracto. Esta diferencia de los grados de conocimiento se expresa en las categorías de lo EXTERIOR y lo INTERNO.

Sin una noción elemental de los nexos causales es imposible la actividad práctica del hombre encaminada a un fin. En el proceso ulterior de desarrollo del pensamiento el hombre empezó a comprender que la causa no se limita a generar la acción, sino que la supone en calidad de acción contraria. Al diferenciarse, la causa y el efecto no son dos formas distintas e independientes de existencia. Toda acción es INTERACCIÓN.

El conocimiento profundo de los vínculos objetivos y de la interacción de las cosas es resultado de un largo desarrollo de la práctica social y del pensamiento; los vínculos más simples de las cosas fueron objeto del reflejo en la conciencia humana ya en la primeras fases de su desarrollo ya que son el conocimiento sería imposible la actividad productiva. La interacción de los objetos entre sí y de los distintos aspectos o momentos dentro del objeto, que se expresa en la contradicción, en la lucha de contrarios, es la causa universal, residente en la naturaleza de las cosas, de su cambio y desarrollo, los cuales transcurren no a consecuencia de un impulso de fuera como acción unilateral, sino en virtud de la interacción y de la CONTRADICCIÓN.

La interacción práctica de los hombres con un gran número de cosas semejantes y diversas llevó a descubrir los signos individuales, particulares y generales de las mismas; estos sirvió de base para la elaboración de las categorías de la INDIVIDUAL, LO PARTICULAR Y LO GENERAL.

Ahora, la REALIDAD es resultado del proceso de desarrollo de los objetos y procesos de la naturaleza y de la vida social, el grado concreto de desarrollo de los fenómenos, resultado de la aparición del ser presente a partir de la posibilidad real. La posibilidad es el ser potencial, interno, del objeto que se revela. La realidad es más rica que la posibilidad, puesto que esta última no es sino uno de los momentos de la realidad.

3.2. Leyes de la dialéctica materialista o científica

Las leyes universales fueron descubiertas por la generalización de las leyes de orden parcial. Las leyes más generales de la dialéctica materialista son:

1.       PASO DE LOS CAMBIOS CUALITATIVOS A CUANTITATIVOS,

2.       UNIDAD Y LUCHA DE CONTRARIOS

3.        NEGACIÓN DE LA NEGACIÓN.

La ley del paso de los cambios cuantitativos a cualitativos muestra el modo cómo se realiza la aparición de lo nuevo. Pero no revela toda la esencia del proceso de desarrollo, no nos dice qué es la fuerza motriz, la fuente del desarrollo. La fuerza motriz del desarrollo viene expresada por la ley de la unidad y la lucha de contrarios.

Según esta ley, los objetos y fenómenos del mundo objetivo, en el proceso de su desarrollo –que se desprende de la interacción y contradicción entre los distintos objetos y fenómenos y de los distintos aspectos dentro de los objetos y fenómenos y de los distintos aspectos dentro de los objetos y fenómenos-, pasan del estado de diferencia no advertida y no esencial de los aspectos que integran el fenómeno dado a las diferencias esenciales de los aspectos del todo y a los contrarios, los cuales se manifiestan entre sí en contradicción, en lucha, que es la fuente interna de desarrollo de dicho fenómeno.

Cualquier desarrollo es un proceso dirigido de manera determinada.

Este aspecto del desarrollo viene expresado por la ley de la negación de la negación. Cada fenómeno es relativo y, en virtud de su naturaleza finita, pasa a otro fenómeno, el cual, en determinadas condiciones, puede convertirse en el contrario del primero y negarlo. La negación es no sólo la negación de lo viejo, sino la afirmación de lo nuevo. Como resultado de esta creciente negación de la negación se obtiene el movimiento del objeto de lo simple a lo complejo, de lo inferior a lo superior, con elementos de repetición de etapas pasadas, de retrocesos temporales, etc.

Cada momento de desarrollo, por mucho que se diferencie del anterior, procede de él, es resultado de se desarrollo, por lo cual lo incluye y conserva en sí en un aspecto transformado. De ahí se desprende una importante exigencia al conocimiento científico, que se manifiesta en calidad de método:

EL CONOCIMIENTO HISTÓRICO ÚNICAMENTE PUEDE SER FECUNDO CUANDO CADA MOMENTO DEL DESARROLLO HISTÓRICO ES CONSIDERADO COMO RESULTADO DEL MOMENTO PRECEDENTE Y EN RELACIÓN ORGÁNICA CON ÉL.

El materialismo dialéctico proporciona a los investigadores el único método científico de pensar, el método de conocimiento adecuado a las leyes del mundo objetivo. En cuanto al materialismo dialéctico, trata de las leyes más generales del movimiento y desarrollo del ser y del pensamiento, el conocimiento de las leyes universales a su vez, sirve de base y guía para el estudio de las leyes específicas.

Cada ciencia se basa en los resultados del conocimiento de las leyes universales del desarrollo como principio metodológico. El único método científico para el conocimiento y transformación de la realidad es la dialéctica materialista…”ya que es la única que nos brinda la analogía y, por tanto, el método para explicar los procesos de desarrollo de la naturaleza, para comprender, en sus rasgos generales, sus nexos y el tránsito de uno a otro campo de investigación” (Dialéctica de la Naturaleza)

La tesis del materialismo dialéctico de que la materia es lo primario y la conciencia lo secundario, se diferencia del materialismo anterior al marxismo en que se incluye el reconocimiento del carácter primario del ser social y del carácter secundario de la conciencia social. Por ser social el marxismo entiende el proceso real de la vida de los hombres, el trabajo, el proceso de producción de los bienes materiales, las relaciones que se establecen entre los hombres en el proceso de producción, etc. Por conciencia social entiende las concepciones políticas, filosóficas, jurídicas y artísticas, la moral, la ciencia y la religión.

3.3. Historia de la lógica dialéctica

El pensamiento dialéctico es de un origen antiquísimo. Ya el pensamiento primitivo se hallaba presidido por la conciencia del desarrollo, de la dialéctica. La filosofía del Oriente antiguo y la de Grecia crearon modelos no superados de teorías dialécticas. La dialéctica griega, basada en la percepción sensorial viva del cosmos material, ya desde sus primeras manifestaciones formuló toda la realidad como algo en proceso de formación, como algo que incluye contrarios en su seno, como algo que se mueve eternamente y tiene existencia en sí.

Todos los filósofos en absoluto del primer período de la época clásica griega mantenían el carácter general y eterno del movimiento, al mismo tiempo que se representaban el cosmos como un todo perfecto y hermoso en forma de algo eterno y que permanece en reposo. Era la dialéctica universal del movimiento y del reposo. Los primeros filósofos clásicos griegos enseñaban también la mutabilidad general de las cosas como resultado de la transformación de un elemento fundamental (tierra, agua, aire, fuego y éter) en otro. Era la dialéctica universal de la identidad y la diferencia.

Siguiendo adelante, todos, los primeros filósofos clásicos griegos concebían el ser como materia sensorialmente percibida, viendo en ella unas u otras leyes. Los números de los pitagóricos, por lo menos en la época inicial, son completamente inseparables de los cuerpos. El logos de Heráclito es el fuego mundial que se enciende y se apaga rítmicamente. El pensamiento en Diógenes de Apolonia es el aire. Los átomos de Leucipo y Demócrito son cuerpos geométricos eternos e indestructibles que no están sujetos a ningún cambio, pero de ellos se compone la materia percibida sensorialmente. Toda la primera filosofía clásica griega enseña la identidad, la eternidad y el tiempo: todo lo eterno transcurre en el tiempo, y todo lo temporal contiene en sí una base eterna, de donde se deriva la teoría de la rotación eterna de la materia. Todo ha sido creado por los dioses; pero los propios dioses no son sino la generalización de los elementos materiales, de tal modo que, en última instancia, el cosmos no fue creado por nadie ni por nada, sino que surgió por sí mismo y surge constantemente en su existencia eterna.

Así, ya en los primeros tiempos de la filosofía clásica griega (siglos VI y V de n.e.) se meditaba sobre las categorías fundamentales de la lógica dialéctica, aunque, bajo el imperio del materialismo dialéctico, permanecía lejos del sistema de estas categorías y de la separación de la lógica dialéctica como una ciencia especial.

Heráclito y otros filósofos de la naturaleza dieron las fórmulas del devenir eterno como unidad de contrarios. Aristóteles consideraba como primer dialéctico al eleata Zenón. Precisamente los eleatas fueron los primeros en enfrentar netamente la unidad y la multiplicidad, o el mundo concebido o el mundo sensorial. Sobre la base de la filosofía de Heráclito y de los eleatas, en un ambiente de creciente subjetivismo, en Grecia surgió como lógico la dialéctica puramente negativa de los sofistas, los cuales en la mutación constante de cosas eternas y de conceptos veían la relatividad del saber humano y reducían la lógica dialéctica hasta un nihilismo completo, del que tampoco se salvaba la moral.

Por lo demás, conclusiones de la dialéctica para la vida sacaba ya Zenón. En este ambiente es como Xenofonte, presenta a su Sócrates, el cual trata de dar la doctrina de los conceptos puros, pero sin el relativismo sofista, buscando en ellos los elementos más generales, dividiéndolos en géneros y especies, sacando de ahí obligatoriamente conclusiones morales y valiéndose del método del diálogo: La propia palabra ‘dialéctica’ -decía- tuvo su origen en que los hombres, al cambiar opiniones en las asambleas, dividen los objetos en géneros...

En ningún caso hay que reducir el papel de los sofistas y de Sócrates en la historia de la lógica dialéctica. Ellos precisamente, apartándose de la lógica dialéctica excesivamente ontológica de los primeros clásicos, condujeron a un vertiginoso movimiento del pensamiento humano con sus contradicciones eternas, con sus incansables búsquedas de la verdad en una atmósfera de encarnizadas disputas en persecución de categorías del pensamiento cada vez más sutiles y exactas. Este espíritu de la heurística y la teoría de preguntas y respuestas de la dialéctica comenzó desde entonces a penetrar en toda la filosofía antigua y en toda la lógica dialéctica que le era propia. Este espíritu emana de los diálogos de Platón, con su intensa actividad pensante, de las diferencias de Aristóteles, de la lógica formalista de los estoicos e incluso de los neoplatónicos, los cuales, con toda su inspiración mística, penetraban hasta el fondo de la heurística, en la dialéctica de las categorías más sutiles, en la interpretación de la vieja y sencilla mitología, en la sistemática rebuscada de todas las categorías lógicas. Sin los sofistas y sin Sócrates no se puede concebir la lógica dialéctica antigua ni siquiera allí donde no tiene nada de común con ellos por su contenido. El griego era un hombre siempre dispuesto a hablar, a discutir, un equilibrista de la palabra. Así era su lógica dialéctica, surgida sobre la sofística y el método socrático del diálogo dialéctico.

Prosiguiendo el pensamiento de su maestro e interpretando el mundo de los conceptos o ideas como una realidad especial independiente, Platón entendía por dialéctica no sólo la división de los conceptos en géneros netamente diferenciados y no sólo la búsqueda de la verdad con ayuda de preguntas y respuestas, sino también el conocimiento de lo relativamente existente y de lo verdaderamente existente. Esto creía posible alcanzarlo sólo con ayuda de la reducción de las partes contradictorias en lo integral y común. Magníficos modelos de este género de lógica dialéctica idealista antigua tenemos en los diálogos de Platón Sofista y Parménides.

En el primero de ellos encontramos precisamente la dialéctica de las cinco categorías dialécticas fundamentales: movimiento, reposo, diferencia identidad y ser, como resultado de lo cual este último es interpretado por Platón como la separación coordenada que se contradice por sí misma activamente. Cualquier cosa es idéntica, a sí misma y a todas las demás, y diferente a sí misma y a todas las demás, y también en estado de reposo y movimiento por sí misma y con relación a todo lo demás.

En Parménides esta lógica dialéctica es llevada al grado máximo de detalle, de sutileza y sistematización. En un principio se da la dialéctica de lo único como unidad absoluta e inseparable, y luego la dialéctica del todo único-separado tanto en relación a sí mismo como en relación a todo lo demás de lo cual depende. Las reflexiones de Platón sobre las distintas categorías de la lógica dialéctica aparecen en todas sus obras; podemos indicar siquiera sea la dialéctica del devenir puro o la dialéctica de la unidad cósmica, que se encuentra por encima de la unidad de las distintas cosas en su conjunto, y también por encima de la propia oposición del sujeto y el objeto. No en vano Diógenes Laercio (III,56) consideraba que el inventor de la dialéctica había sido Platón.

Aristóteles, que insertaba las ideas platónicas dentro del marco de la propia materia, convirtiéndolas así en formas de las cosas, y que además incorporaba aquí la teoría de la potencia y la energía (lo mismo que algunas otras teorías análogas), elevó la lógica dialéctica hasta su nivel más elevado, si bien este apartado de la filosofía no lo llama lógica dialéctica, sino primera filosofía. El término de lógica lo conserva para la lógica formal, y por dialéctica entiende la doctrina de los juicios y conclusiones probables o apariencias.

La significación de Aristóteles en la historia de la lógica dialéctica es inmensa. Su doctrina de los cuatro principios -material, formal (más exactamente, de sentido eidético), motriz y de finalidad- es interpretada de tal modo que todos estos cuatro principios existen en cada cosa completamente separados e idénticos con la propia cosa.

Desde el punto de vista moderno se trata, sin duda, de la unidad de los contrarios por mucho que Aristóteles llevase a primer plano la ley de la contradicción (más exactamente, la ley de la no contradicción) lo mismo en el ser que en la conciencia. La teoría de Aristóteles acerca de la fuerza motriz primaria que piensa por sí misma, es decir, que es para sí sujeto y objeto, no es sino un fragmento de la misma lógica dialéctica. Cierto, Aristóteles examina sus famosas diez categorías por separado y de manera puramente descriptiva. Pero en su primera filosofía todas estas categorías son interpretadas con un criterio bastante dialéctico. Finalmente, no se puede rebajar la circunstancia de que él mismo llama dialéctica al sistema de conclusiones en la región de las hipótesis probables. Aquí, en todo caso, Aristóteles da la dialéctica de la formación, por cuanto la propia probabilidad sólo es posible en el campo de la formación. Lenin dice: La lógica de Aristóteles es petición, búsqueda, acceso a la lógica de Hegel, y de ella, de la lógica de Aristóteles (que por doquier, a cada paso, plantea precisamente la cuestión de la dialéctica), han hecho una escolástica muerta, han prescindido de todas las búsquedas, fluctuaciones y métodos de planteamiento de los problemas.

En los estoicos, sólo el sabio es dialéctico, la dialéctica es definida por ellos como la ciencia de dialogar acertadamente acerca de los juicios por medio de preguntas y respuestas y como ciencia de lo verdadero, lo falso y lo neutral. Si consideramos que en los estoicos la lógica se dividía en dialéctica y retórica, su concepción de la lógica dialéctica no era ontológica en absoluto.

Contrariamente a esto, los epicúreos entendían la lógica dialéctica como canónica, es decir, de manera otológica y materialista.

No obstante, si tomamos en consideración no la terminología de los estoicos, sino su doctrina real del ser, en lo fundamental nos encontramos con la cosmología de Heráclito, es decir, con la doctrina de la eterna formación y de la transformación recíproca de los elementos, la doctrina del logos-fuego, de la jerarquía material del cosmos, y la diferencia principal de Heráclito se presenta en la teleología insistentemente aplicada. De este modo, en la doctrina del ser de los estoicos también encontramos no sólo materialistas, sino partidarios de la lógica dialéctica. La línea de Demócrito-Epicuro-Lucrecio tampoco se puede entender en modo alguno de una manera mecanicista. La aparición en ellos de cada cosa partiendo de los átomos es también un salto dialéctico, por cuanto cada cosa posee una cualidad que la diferencia por completo de los átomos de los cuales procede. Se conoce también la equiparación antigua de los átomos a las letras: la cosa integral viene de los átomos de la misma manera como la tragedia y la comedia surgen de las letras. Está claro que los atomistas concebían aquí la dialéctica del todo y de las partes.

En los últimos siglos de la filosofía antigua, la dialéctica de Platón adquirió particular desarrollo. Plotino tiene un tratado especial sobre la dialéctica; y conforme el platonismo se va desarrollando hasta fines del mundo antiguo, tanto más sutil, escrupulosa y escolástica se hace la lógica dialéctica. La jerarquía neoplatónica fundamental del ser es completamente dialéctica: lo único, que es la unidad absoluta de todo lo existente, que funde en sí todos los sujetos y objetos y que por ello es inseparable en sí; la separación numérica de este único; el complemento cualitativo de estos primeros números, que representa la identidad del sujeto universal y del objeto universal (tomada de Aristóteles) o mundo de las ideas; el paso de estas ideas a la formación, que es la fuerza motriz del cosmos o alma mundial; el producto y resultado de esta esencia móvil del alma mundial, o cosmos; y, finalmente, la reducción gradual en su contenido de sentido de la esfera cósmica, empezando por el cielo y acabando en la tierra. En el neoplatonismo es también dialéctica la doctrina misma de la gradual y constante efusión y división del único inicial, es decir, lo que en la filosofía antigua y medieval se suele llamar emanacionismo (Plotino, Porfirio, Yámblico, Proclo y otros muchos filósofos de los siglos III a VI). Aquí nos encontramos con un sinfín de concepciones dialécticas productivas, pero todas ellas, debido al carácter específico de la época, son presentadas a menudo en forma de reflexiones místicas y de una sistemática escrupulosamente escolástica: Dialécticamente tiene valor, por ejemplo, la concepción del desdoblamiento de lo único, el reflejo recíproco del sujeto y el objeto en el conocimiento, la doctrina de la movilidad eterna del cosmos, de la formación pura, etc.

Como resumen de la lógica dialéctica antigua, hay que decir que en ella fueron meditadas casi todas las categorías principales de esta ciencia sobre la base de la relación consciente hacia el elemento de la formación. Pero ni el idealismo ni el materialismo de la antigüedad pudieron hacer frente a esta tarea debido a su espíritu contemplativo, a la fusión de la idea y la materia en unos casos y a la separación de las mismas en otros; debido a la primacía de la mitología religiosa en unos casos y al relativismo ilustrador en otros; debido a la débil conciencia de las categorías como reflejo de la realidad y a la incapacidad constante para comprender la acción creadora del pensamiento sobre la realidad. En medida considerable esto se refiere también a la filosofía medieval, en la que la mitología anterior fue sustituida por otra mitología aunque también aquí la lógica dialéctica seguía trabada por un ontologismo demasiado ciego.

El predominio de las religiones monoteístas en la Edad Media desplazó la lógica dialéctica al campo de la teología, utilizando a Aristóteles y el neoplatonismo para crear la doctrina escolástica del absoluto personal.

En el sentido del desarrollo de la lógica dialéctica esto era un paso adelante, ya que la conciencia filosófica se acostumbraba gradualmente a sentir su propia fuerza, aunque fuese surgida de lo absoluto interpretado con un criterio personalista. La doctrina cristiana de la trinidad (por ejemplo en los capadocios Basilio el Grande, Gregorio Nazianzin, Gregorio Nisski y en general, en numerosos padres y maestros de la Iglesia, por ejemplo, San Agustín) y la doctrina árabe-judía del absoluto social (por ejemplo, en Ibn Roshd (*) y la Kabbala) se construían preferentemente según los métodos de la dialéctica. El símbolo de la fe, afirmado en los dos primeros concilios universales (325 y 381) proclamaba la substancia divina expresada en tres personas con la identidad completa de esta substancia y de estas tres personas y con su completa diferencia, y también con el desarrollo independiente de las mismas personas: el seno inicial del movimiento eterno (el padre) la ley desmembrada de este movimiento (el hijo o Dios verbo) y la eterna formación creadora de esta ley inmóvil (espíritu santo). En la ciencia hace ya tiempo que se ha puesto en claro el vínculo de esta concepción con la lógica dialéctica de Platón y Aristóteles, de los estoicos y del neoplatonismo. Donde más profundamente se encuentra expresada esta lógica dialéctica es en el tratado de Proclo Elementos de teología y en las llamadas Areopagíticas, que constituyen una compilación cristiana del proclismo y tuvieron gran significación en toda la lógica dialéctica medieval.

Esta lógica dialéctica, basada en el pensamiento religioso-místico, llegó hasta Nicolás de Cusa, quien construyó su doctrina precisamente sobre la base de Proclo y las areopagíticas. Tales son las teorías de Nicolás de Cusa sobre la identidad del saber y el no saber, sobre la coincidencia del máximo y el mínimo sobre el movimiento eterno, sobre la estructura trinitaria de la eternidad, sobre la identidad del triángulo, el círculo y la esfera en la teoría de la divinidad, sobre la coincidencia de los contrarios, sobre cualquiera en cualquiera, sobre la reducción y el desenvolvimiento del cero absoluto, etc. Además, en Nicolás de Cusa el neoplatonismo antiguo y medieval se junta a las ideas de los primeros gérmenes del análisis matemático, ya que en el concepto de lo absoluto se pone la idea de la formación eterna, y el propio absoluto empieza a entenderse como integral peculiar y que lo abarca todo o, en dependencia del punto de vista, como diferencial. En él figuran, por ejemplo, conceptos tales como ser-posibilidad (posse-fieri). Esto es el concepto de eternidad como formación eterna, como posibilidad eterna de todo lo nuevo y de lo nuevo que es su auténtico ser. De este modo, el principio infinitesimal, es decir, de lo infinitamente pequeño determina la característica del ser del propio absoluto. Tal es también, por ejemplo, su concepto de possest, es decir de posse est, o concepto de potencia eterna que engendra todo lo nuevo, de tal suerte que esta potencia es el último ser. Aquí, la lógica dialéctica con un matiz infinitesimal se convierte en una concepción muy neta. Con relación a esto hay que recordar a Giordano Bruno, panteísta a la manera de Heráclito y materialista pre-spinoziano, que también enseñó la unidad de los contrarios, la identidad del mínimo y el máximo (comprendiendo este mínimo también de manera semejante a la teoría del infinitamente pequeño que entonces aparecía), la infinitud del Universo (interpretando de un modo completamente dialéctico que su centro se encuentra en todos los sitios, en cualquiera de sus puntos), etc. Filósofos como Nicolás de Cusa y Giordano Bruno seguían aún hablando de la divinidad y de la unidad divina de los contrarios, pero estas concepciones ya adquieren en ellos un matiz infinitesimal; y al cabo de cien o de ciento cincuenta años aparece ya el auténtico cálculo de los infinitamente pequeños, que representa una etapa nueva en el desenvolvimiento de la lógica dialéctica.

En la Edad Moderna, en relación con la formación capitalista en ascenso y en dependencia de su filosofía individualista, en el período de la dominación del análisis racionalista metafísicamente matemático (Descartes, Leibniz, Newton, Euler), que operaba con variables, es decir, con funciones y magnitudes que se forman infinitamente, fue una región de la lógica dialéctica que maduraba sin cesar, aunque no siempre se tuvo conciencia de ello. Porque lo que en matemáticas se denomina variable, en filosofía es el punto de vista de formación de la magnitud; y como resultado de esta formación surgen unos u otros valores límites, que en el sentido completo de la palabra resultan la unidad de contrarios, como, por ejemplo, la derivada es la unidad de contrarios del argumento y la función, sin hablar ya de la formación misma de las magnitudes y de la transición de las mismas al límite.

Es necesario tener en cuenta que, a excepción del neoplatonismo, el término de lógica dialéctica o no se empleaba en absoluto en sistemas filosóficos del Medievo y de la Edad Moderna que por su esencia eran dialécticos, o se utilizaba en un sentido cercano a la lógica formal. Así, por ejemplo, los tratados del siglo IX de Juan de Damasco Dialéctica, en la teología bizantina, y De la división de la naturaleza, de Juan Escoto Erígena, en la filosofía occidental. Las teorías de Descartes sobre el espacio heterogéneo, de Spinoza sobre el pensamiento y la materia o sobre la libertad y la necesidad, o de Leibniz sobre la presencia de cada mónada en cualquiera otra mónada, contienen indudablemente unas construcciones dialécticas muy profundas, aunque sus autores no hablan para nada de lógica dialéctica.

Toda la filosofía de la Edad Moderna fue también un paso adelante hacia la comprensión de lo que es la lógica dialéctica. Las empíricos modernos F. Bacon, Locke, Hume), a pesar de todo su espíritu metafísico y de dualismo, gradualmente, de una manera o de otra, enseñaban a ver en las categorías un reflejo de la realidad. Los racionalistas, a pesar de su subjetivismo y de su metafísica formalista, enseñaban a encontrar en las categorías cierto movimiento autónomo. Hubo incluso intentos de ciertas síntesis de lo uno y de lo otro, pero no podían verse coronados por el éxito por el excesivo individualismo, dualismo y formalismo de la filosofía burguesa de la Edad Moderna, que había surgido sobre la base de la iniciativa privada y del enfrentamiento demasiado acusado del Yo y el no-Yo, en el cual la primacía correspondía siempre al Yo en oposición al no-Yo, que se entendía como algo pasivo.

Los éxitos y los reveses de tal síntesis en la filosofía prekantiana pueden ser ilustrados con el ejemplo de Spinoza. Las primeras definiciones de su Ética son perfectamente dialécticas. Si en la causa coinciden en sí esencia y existencia, esto es la unidad de contrarios. La substancia es lo que existe por sí mismo y se representa a través de sí mismo. Es también la unidad de contrarios: el ser y la noción sobre él determinada por él mismo. El atributo de substancia es lo que la mente concibe en ella como su esencia. Es la coincidencia en la esencia de lo que en ella es esencia y de su reflejo mental. Los dos atributos de la substancia, pensamiento y extensión, son una misma cosa. La cantidad de atributos es infinita, pero en cada uno de ellos se refleja toda la sustancia. Indudablemente, lo que aquí encontramos no es otra cosa sino lógica dialéctica. Y sin embargo, la doctrina de Spinoza adolece de una excesiva ceguera ontológica, habla con demasiada imprecisión del reflejo y comprende demasiado poco el reflejo inverso del ser en el propio ser. Y sin esto resulta imposible construir una lógica dialéctica correcta y sistemáticamente comprendida.

La forma clásica para la Edad Moderna de la lógica dialéctica la proporciona el idealismo alemán, que empezó con su interpretación negativa y subjetivista en Kant, y que a través de Fichte y Schelling pasó al idealismo objetivo de Hegel. En Kant la lógica dialéctica no es sino la denuncia de la ilusiones de la razón humana, deseosa de alcanzar obligatoriamente el conocimiento integral absoluto. Considerando que el conocimiento científico, según Kant, sólo es el conocimiento que se apoya en la experiencia sensorial y se basa en la actividad del raciocinio, y el concepto supremo de razón (Dios, el mundo, el alma, la libertad) no posee estas propiedades, la lógica dialéctica, siempre siguiendo a Kant, no revela las contradicciones inevitables en que la razón se confunde en su deseo de alcanzar la integridad absoluta. Sin embargo, esta interpretación puramente negativa de la lógica dialéctica por Kant tuvo la enorme significación histórica de que descubrió en la razón humana su necesaria contradicción. Y esto condujo posteriormente a la búsqueda de la superación de estas contradicciones de la razón, lo cual sirvió de base a la lógica dialéctica ya en el sentido positivo.

Debemos señalar también que Kant empleó por primera vez el término mismo de lógica dialéctica: tal era el sentido independiente que atribuía a esta disciplina. Pero lo más interesante es que también Kant, lo mismo que toda la filosofía mundial, sin él mismo advertirlo, se mantuvo bajo la impresión del inmenso papel que la lógica dialéctica cumple en el pensamiento. A pesar del dualismo, a pesar de su metafísica, a pesar de su formalismo, sin él mismo advertirlo, utilizó con gran frecuencia el principio de la unidad de los contrarios. Así, en el capítulo Del esquematismo de los conceptos puros de la razón de su obra fundamental, Crítica de la razón pura, se pregunta súbitamente: ¿de qué manera estos fenómenos sensoriales se someten al raciocinio y a sus categorías? Porque está claro que entre el uno y los otros debe existir algo común. Lo que hay de común, que él llama aquí esquema, es el tiempo. El tiempo relaciona el fenómeno que transcurre sensorialmente con las categorías del raciocinio, es decir, es empírico y apriorístico. Kant cae aquí en la confusión, naturalmente, porque según su doctrina fundamental el tiempo no es en absoluto algo sensorial, sino apriorístico, de tal manera que este esquema no proporciona en absoluto ninguna unificación de lo sensorial y del raciocinio. Es indudable, sin embargo, que lo no consciente para sí mismo es aquí para Kant el tiempo de formación en general; y en la formación, indudablemente, cada categoría surge en cada momento y en ese mismo momento desaparece. Así, la cansa de un fenómeno dado, que caracteriza su origen, obligatoriamente, en cada momento de este último se manifiesta de manera diferente y diferente, es decir, constantemente surge y desaparece. De este modo, la síntesis dialéctica de la sensoriedad y del raciocinio, justamente en el sentido de la lógica dialéctica, fue construida de hecho ya por el propio Kant, aunque los prejuicios metafísicos dualistas le impidieran dar una concepción clara y sencilla.

De los cuatro grupos de categorías, la calidad y la cantidad, indudablemente, se funden dialécticamente en el grupo de categorías de relación; el grupo de categorías de modalidad es sólo una precisión del grupo de relación obtenido. Incluso dentro de los distintos grupos, las categorías son dadas por Kant según el principio de la tríada dialéctica: la unidad y la pluralidad se funden en la unidad de esos contrarios, que Kant denomina integridad; en cuanto a la realidad y a la negación, es indudable que su síntesis dialéctica es la limitación, por cuanto para esta última es necesario fijar algo y hace falta tener algo que rebasa esta realidad para delimitar 1a frontera entre lo afirmado y lo no afirmado, es decir, delimitar lo afirmado. Finalmente, incluso las famosas antinomias de Kant, (por ejemplo: el mundo es limitado e ilimitado en el espacio y en el tiempo), en última instancia son también salvadas por el propio Kant con ayuda del método de la formación: el mundo realmente observado es finito; sin embargo no podemos encontrar este fin en el tiempo y el espacio; por esta razón el mundo es no finito y no infinito, y lo único que existe es la búsqueda de este fin según la exigencia regulativa de la razón. La Crítica de la síntesis del juicio es también una síntesis no consciente de la Critica de la razón pura y de la Crítica de la razón práctica.

Fichte facilitó al momento la posibilidad de la lógica dialéctica sistemática con su interpretación de las cosas en sí como categorías también subjetivas, desprovistas de toda existencia objetiva. Esto era ya subjetivismo absoluto, y por tanto, no eradualismo, sino monismo, con lo que se facilitaba la separación sistemática y armónica de unas categorías partiendo de otras y acercaba la lógica dialéctica al monismo antimetafísico. Bastaba introducir en este espíritu absoluto de Fichte la naturaleza -lo cual encontramos en Schelling- y también la historia -como encontramos en Hegel- para que surgiese el sistema del idealismo objetivo de Hegel, el cual, dentro de esté espíritu absoluto, proporcionaba una lógica dialéctica irreprochable por su monismo, que abarcaba todo el campo de la realidad, desde las categorías puramente lógicas, pasando por la naturaleza y el espíritu, hasta la dialéctica categorial de todo el proceso histórico.

La lógica dialéctica hegeliana, sin referirnos a las demás regiones del conocimiento, aunque, según Hegel, también son movimiento de unas u otras categorías creadas por el mismo espíritu mundial, es una ciencia desarrollada sistemáticamente en la cual se da un cuadro completo y sustancioso de las formas generales del movimiento de la dialéctica. Hegel tenía toda la razón desde su punto de vista, cuando dividía la lógica dialéctica en ser, esencia y concepto. El ser es la primera y más abstracta definición del pensamiento. Se concreta en las categorías de calidad, cantidad y medida (entendiendo por esta última la cantidad determinada cualitativamente y la calidad limitada cualitativamente). Hegel comprende su calidad como el ser inicial que después de su agotamiento pasa al no ser, y la formación como síntesis dialéctica del ser y no ser (por cuanto en cualquier formación el ser surge siempre, pero en ese mismo momento se destruye). Después de agotar la categoría del ser, Hegel examina ese mismo ser, pero ya oponiéndolo a sí mismo. De manera natural, de aquí nace la categoría de esencia del ser, y en esta esencia, Hegel, siempre de completo acuerdo con sus principios, encuentra la esencia por sí misma, su aparición y la síntesis dialéctica de la esencia inicial y el fenómeno en la categoría de realidad. Con esto se agota su esencia. Pero la esencia no puede permanecer apartada del ser. Hegel estudia el grado de la lógica dialéctica en el que figuran las categorías que contiene en sí por igual el ser y la esencia. Es el concepto. Hegel era idealista absoluto y por esta razón es en el concepto donde encuentra la expansión máxima del ser y de la esencia. Examina su concepto como sujeto, como objeto y como idea absoluta; la categoría de su lógica dialéctica es la idea y lo absoluto. Además, el concepto hegeliano se puede interpretar como lo hizo Engels, de un modo materialista: como naturaleza general de las cosas, o, como lo hizo Marx, como ley general de la producción, o, como lo hizo Lenin, como conocimiento. Y entonces este apartado de la lógica hegeliana pierde su carácter místico y adquiere un sentido racional. En general, no obstante, todas estas categorías que se mueven por sí mismas han sido estudiadas por Hegel con tanta profundidad y de manera tan completa que, por ejemplo, Lenin, al terminar sus apuntes de la Ciencia de la Lógica hegeliana, dice: En esta obra de Hegel, la más idealista de todas, es en la que hay menos idealismo y más materialismo. ¡Es ‘contradictorio’, pero es un hecho!

En Hegel tenemos la cumbre de toda la filosofía occidental en el sentido de la creación de la lógica de la formación, cuando todas las categorías lógicas son tomadas invariablemente en su dinámica y en su generación recíproca, y cuando las categorías, aunque producto exclusivo del espíritu, como tal principio objetivo en el que se hallan representadas la naturaleza, la sociedad y toda la historia.

De entre la filosofía del siglo XIX anterior a Marx, un gran paso adelante fue el que dieron los demócratas revolucionarios rusos -Belinski, Herzen, Chernishevski y Dobroliubov-, cuya teoría y práctica revolucionaria no sólo permitió pasar del idealismo al materialismo; sino que los condujo a la dialéctica de la formación, ayudándoles a crear las concepciones más avanzadas en diversas regiones de la historia de la cultura. Lenin escribe que la dialéctica de Hegel fue para Herzen el álgebra de la revolución. La profundidad con que Herzen comprendía la lógica dialéctica, por ejemplo, en relación con el mundo físico, se advierte en estas palabras suyas: La vida de la naturaleza es desarrollo constante, desarrollo de lo simple abstracto, no completo, espontáneo, a lo completo concreto, complejo, desarrollo del germen del desmembramiento de todo lo que se encierra en su concepto, y de la eterna aspiración a llevar ese desarrollo hasta la correspondencia completa, dentro de lo posible, de la forma con el contenido: esto es la dialéctica del mundo físico. También Chernishevski enunció profundas ideas sobre la lógica dialéctica. Atendidas las condiciones de su tiempo, los demócratas revolucionarios no pudieron más que acercarse de lleno a la dialéctica materialista.

Nota:

(*) El autor se refiere al filósofo cordobés Averroes, el nombre castellanizado de Ibn Roshd.

 Tomado del libro: A. G. Spirkin, Materialismo dialéctico y lógica dialéctica.

Clásicos del Marxismo

Editorial Grijalbo, México

4.       Otras perspectivas históricas sobre la dialéctica

OTRA PERSPECTIVA SOBRE

LA HISTORIA DE LA LÓGICA

"Antes del pensamiento que aspira a una coherencia lógica
hallamos fe en una u otra magia".

Abstract

Esta Breve Historia de la Lógica es un documento abierto en fase 2.0 publicado online desde 2005 a partir de un texto actualmente desaparecido que se apoyaba en un modelo de exposición utilizado por Henri Poncairé¹; en 2007 se incorporan datos del modelo de exposición que Antonio Escohotado propone en Génesis y evolución del pensamiento científico².

Introducción³

El nacimiento de la lógica propiamente dicho está directamente relacionado con el nacimiento intelectual del ser humano. La lógica emerge como mecanismo espontáneo en el enfrentamiento del hombre con la naturaleza, para comprenderla y aprovecharla. Poncairé destaca cinco etapas o revoluciones en ese proceso que se presentan entre dos grandes tópicos: del rigor y la formalidad, a la creatividad y el caos. Las etapas se identifican como: Revolución Matemática, Revolución Científica, Revolución Formal y Revolución Digital además de la próxima y prevista Revolución Lógica.

Lógica Matemática

La lógica matemática cuestiona con rigor los conceptos y las reglas de deducción utilizados en matemáticas lo que convierte la lógica en una especie de metamatemática. Una teoría matemática considera objetos definidos -enteros, por ejemplo- y define leyes que relacionan a estos objetos entre sí, los axiomas de la teoría. De los axiomas se deducen nuevas proposiciones -los teoremas-, y a veces, nuevos objetos. La construcción de sistemas formales -formalización, piedra angular de la lógica matemática-, permite eliminar la arbitrariedad en la elección de los axiomas y definir explícita y exhaustivamente las reglas de la deducción matemática.

Las matemáticas y la lógica

Del año 600 aC hasta 300 aC se desarrollan en Grecia los principios formales de las matemáticas. Este periodo clásico lo protagonizan Platón, Aristóteles y Euclides. Platón propone ideas o abstracciones. Aristóteles resuelve el razonamiento deductivo y sistematizado. Euclides es el autor que establece el método axiomático. En los Elementos Euclides organiza las pruebas deductivas de que dispone dentro de una estructura sistemática, rigurosa, altamente eficaz.

Platón

Platón, 427aC - 347 aC, propone instaurar en Siracusa una utópica república dirigida por filósofos. Crea la Academia de Atenas que no era solo una institución filosófica, sino centro de formación política para jóvenes aristócratas. Según algunos especialistas, Platón edifica su teoría del conocimiento con el fin de justificar el poder emergente de la figura del filósofo. Sostiene la existencia de dos mundos -el mundo de las ideas y el de mundo físico de los objetos. Según Platón, lo concreto se percibe en función de lo abstracto y por tanto el mundo sensible existe gracias al mundo de las ideas. Platón escoge el formato diálogo como forma de transmisión del pensamiento.

Aristóteles

Los tratados de lógica de Aristóteles, 384aC - 332 aC, conocidos como Organón, contienen el primer tratado sistemático de las leyes de pensamiento para la adquisición de conocimiento. Representan el primer intento serio que funda la lógica como ciencia. Aristóteles no hace de la lógica una disciplina metafísica sino que establece correspondencias recíprocas entre pensamiento lógico y estructura ontológica. El silogismo fue adoptado por los escolásticos que representan el sistema teológico-filosófico, característico de la Edad Media. La escolástica, sin embargo, acabó por sobrecargar la teoría del silogismo, lo que acarreó su descrédito a partir del Renacimiento. Los lógicos de la edad moderna como Ramée, Arnauld, Nicole, Leibniz, Euler, y Lambert procuraron simplificarla al máximo, y su tratamiento matemático se completó hasta principios del siglo XX con Boole, De Morgan, Frege y Russell. Desde entonces el silogismo se incluye en la lógica de predicados de primer orden y en la lógica de clases, y ocupa en la ciencia lógica un papel mucho menor que en otros tiempos.

Euclides

Matemático alejandrino autor de la universal obra, los célebres Elementos. Uno de los textos matemáticos más relevantes de la historia del pensamiento científico hasta del siglo XIX. Los Elementos están divididos en XIII Libros y constituyen la recopilación más exhaustiva de las matemáticas conocidas en el año 300 aC. Su valor universal lo propaga el uso riguroso del método deductivo que distingue entre principios -definiciones, axiomas y postulados-, y teoremas, que se demuestran a partir de los principios. A lo largo de la historia se mantuvo la sospecha de que el quinto postulado era demostrable a partir de los anteriores. El deseo de resolver tal hipótesis ocupa hasta el siglo XIX con la construcción de las geometrías no euclidianas y se deduce con ellas la imposibilidad de demostrar el quinto postulado.

Apolonio de Perga

La obra sobre curvas cónicas de Apolonio de Perga, «un geómetra de la época helenística-, inicialmente dirigido a euclidianos exquisitos, se convirtió en manual para balísticos del Renacimiento como Tartaglia y, poco después, en base inmediata de la dinámica newtoniana»⁴.

La ciencia matemática

Ante el retroceso de la escuela clásica de los griegos se presentan periodos de autoridad religiosa. El Renacimiento es el inicio de una nueva revolución que revive la ciencia y las matemáticas. Los representantes más destacados son Descartes, Newton y Leibniz. Este periodo abarca del año 1500dC al 1800 dC.

René Descartes

Filósofo y matemático francés, 1596-1650, parte de la duda universal como principio y prescinde de cualquier conocimiento previo que no quede demostrado por la evidencia con que ha de manifestarse el espíritu. Descartes duda de toda enseñanza recibida, de todo conocimiento adquirido, del testimonio de los sentidos e incluso de las verdades de orden racional. Llegado a este punto, halla una verdad de la que no puede dudar: la evidencia interior que se manifiesta en su propio sujeto («pienso, luego existo»). Como científico, se debe a Descartes, entre otras aportaciones de considerable importancia, la creación de la geometría analítica a la vez que aporta un corpus cuantitativo al asunto y permite el uso de métodos algebraicos. La geometría exige ser cuantitativa para ser usada en ciencia e ingeniería, y los métodos algebraicos permiten el desarrollo más rápido que los métodos sistemáticos -a su vez más rigurosos- requeridos por el enfoque axiomático de la geometría clásica. Ubi dubium ibi libertas, donde hay duda hay libertad.

Isacc Newton

A Isacc Newton , 1642-1727, se le debe el descubrimiento de la gravitación universal, el desarrollo del cálculo infinitesimal e importantes descubrimientos sobre óptica, así como las leyes que rigen la mecánica clásica que alimentaría el nacimiento de la mecánica cuántica. Su obra fundamental, Principios matemáticos de la filosofía natural (1686).

Gottfried W. Leibniz

Filósofo y matemático alemán, 1646-1716; fundó la Academia de Ciencias de Berlín, 1700. En Discurso sobre el arte combinatorio enuncia la necesidad de un lenguaje riguroso, exacto y universal puramente formal. Como matemático, su principal trabajo publicado en 1684 es la memoria Nuevo método para la determinación de los máximos y los mínimos, en la que expone las ideas fundamentales del cálculo infinitesimal, anticipándose unos años a Newton. La notación que empleó es particularmente cómoda y se sigue utilizando con algunas modificaciones; introdujo el símbolo de integral y de diferencial de una variable. En el área de lógica matemática publica Generales inquisitiones de analysi notionum et veritatum y Fundamenta calculi logici .

Georg Wilhelm Friedrich Hegel

Filósofo alemán, 1770-1831; fascinado por la obra de Kant y de Rousseau. Autor de Ciencia de la lógica se le atribuye con este trabajo la constitución de la lógica dialéctica entendida como principio motor del concepto que disuelve y produce las particularidades de lo universal.

Nikolai I. Lobachevsky

Matemático ruso, 1792-1856; funda la Geometría No Euclidiana y renueva por ello los fundamentos que hasta ese momento cimentaban la ciencia de la Geometría. Lobachevsky lleva a cabo su revolución en el planteamiento que hasta entonces había utilizado la ciencia Matemática para resolver el enigma del quinto postulado de Euclides que a su vez sirve de puerta a Lobachevsky para adentrarse en los renovados campos de lo físico y lo real.

Formalización de las Matemáticas

Esta etapa se caracteriza por el resurgimiento de la formalización rigurosa de las matemáticas, que en la etapa clásica griega fué representativa. El uso de los infenitesimales fue una de las prácticas más notoria en la época renacentista, para la cual no se ofrecía una justificación. La rigorización del análisis llegó con la eliminación de los infinitesimales y la presencia de los límites como argumento. En este periodo se crea la lógica simbólica, la escuela formal, la lógica booleana, el cálculo proposicional, la inducción matemática, el cálculo de secuentes,.... Personajes muy notables de esta etapa son: Peano, Hilbert, Frege, Boole, de Morgan, Gentzen, Russell, Gödel y Whitehead. A Rusell y Gödel se deben los planteamientos de las limitantes de la lógica y de la ciencia en general.

Guiseppe Peano

La enunciación de los principios del italiano Guiseppe Peano, 1858-1932, acerca de lógica matemática y su aplicación práctica quedaron contenidos en su obra Formulaire de mathematiques. Los axiomas de Peano permiten definir el conjunto de los números naturales.

David Hilbert

Matemático alemán, 1862-1943, aporta grandes avances a campos fundamentales de la relatividad y la mecánica cuántica con la Teoría de Invariantes y el concepto de Espacio de Hilbert. A partir de las fuentes griegas de Euclides, publica en 1899 su obra Fundamentos de Geometría, en la que formula sus principios de axiomatización de la geometría. Según sus teorías, es necesario establecer un conjunto de postulados básicos antes de plantear de modo más detallado cualquier tipo de problema físico o matemático. Estos principios deben ser simbólicos, sin recurrir a dibujos y representaciones gráficas, y es necesario preveer la mayoría de las posibilidades con antelación. Su concepción reconocía tres sistemas de entes geométricos, puntos, rectas y planos a los que pueden aplicarse axiomas distribuidos en cinco categorías: pertenencia, orden, igualdad o congruencia, paralelismo y continuidad.

Friedrich G. Frege

Junto con Boole y Peano, el matemático y lógico Friedrich G. Frege, 1848-1925, partiendo del análisis de los fundamentos de la matemática lleva a cabo la más profunda renovación y desarrollo de la lógica clásica hasta el momento. Es el primero en introducir los cuantificadores u operadores y en elaborar una Teoría de la Cuantificación.

George Boole

El lógico y matemático George Boole, 1815-1864 aplica el cálculo matemático a la lógica, fundando el álgebra de la lógica. En cierto modo realiza el sueño de Leibniz de una characteristica universalis o cálculo del raciocinio. El empleo de símbolos y reglas operatorias adecuados permite representar conceptos, ideas y razonamientos mediante variables y relaciones (ecuaciones) entre ellas. Boole dio un método general para formalizar la inferencia deductiva, representando complicados raciocinios mediante sencillos sistemas de ecuaciones. Así, la conclusión de un silogismo se encuentra eliminando el término medio de un sistema de tres ecuaciones, conforme a las reglas del álgebra común, La formalización de la lógica, iniciada por Boole, ha contribuido poderosamente a aclarar la estructura de los objetos lógicos, en contraposición a los materiales y aun en contraposición a los matemáticos, pese a las analogías formales entre la matemática y la lógica, que Boole señaló. Su obra principal es Investigación de las leyes del pensamiento en las que se fundan las teorías matemáticas de la lógica y la probabilidad, 1854, que aún hoy se lee con deleite.

Augustus De Morgan

La mayor contribución de Augustus De Morgan (1806-1871) en el estudio de la lógica incluye la formulación de las Leyes de Morgan y su trabajo fundamenta la teoría del desarrollo de las relaciones y la matemática simbólica moderna o lógica matemática. De Morgan es autor de la mayor contribución como reformador de la lógica.

Georg F. Cantor

Al matemático alemán Georg F. Cantor, 1845-1918, se debe la idea del infinito continuo, es decir, la posibilidad de considerar conjuntos infinitos dados simultáneamente. Se le considera el creador de la teoría de los números irracionales y de los conjuntos.

Gentzen

El alemán Gentzen (1909-1945) formuló la prueba de la consistencia de un sistema de aritmética clásica en el cual el método no elemental es una extensión de inducción matemática a partir de una secuencia de números naturales a un cierto segmento de números ordinales transfinitos.

Bertrand Rusell

Bertrand Rusell (1872-1970) es uno de los creadores de la logística y uno de los pensadores de mayor influencia en la filosofía científica contemporánea. Lo fundamental en su obra es su aportación a la lógica. Antiaristotélico por excelencia llegó a afirmar que para iniciarse en lógica lo básico era no estudiar la lógica de Aristóteles. Conociendo los trabajos de Cantor descubre en la Teoría de Conjuntos varias paradojas que resuelve mediante la Teoría de los Tipos. Años más tarde establece una teoría similar, -la de la jerarquía de los lenguajes- para eliminar las paradojas semánticas. Siguiendo además de los trabajos de Cantor, a Peano y Frege, Rusell se propone fundamentar y axiomatizar la matemática a partir de conceptos lógicos. Este empeño culmina con la publicación (1910-1913) de los monumentales Principia Mathematica -en colaboración con Whitehead-, obra que, además, sienta las bases de la moderna lógica formal.

Kurt Gödel

Kurt Gödel (1906-1978) aporta múltiples contribuciones a la lógica matemática, destacando la demostración de la consistencia de la hipótesis cantoriana del continuo y el teorema y prueba de incompletez semántica. En Sobre las proposiciones indecidibles de los sistemas de matemática formal establece que es imposible construir un sistema de cálculo lógico suficientemente rico en el que todos sus teoremas y enunciados sean decidibles dentro del sistema. Con este teorema se demostró definitivamente que era imposible llevar a cabo el programa de la axiomatización completa de la matemática propugnado por Hilbert y otros, ya que, según él, no puede existir una sistematización coherente de la misma tal que todo enunciado matemático verdadero admita demostración. Siempre habrá enunciados que no son demostrables ni refutables. Para probar esta aserción se sirvió de la matematización de la sintaxis lógica.

La Revolución Digital

Esta revolución se inicia con la invención de la computadora digital y el acceso universal a las redes de alta velocidad. Turing relaciona lógica y computación antes que cualquier computadora procese datos. Weiner funda la ciencia de la Cibernética. En las Escuelas modernas de Computación están presentes Lógicos que han permitido avances importantes como Hoare que presenta un sistema axiomático de los sistemas de programación y Dijkstra con un sistema de verificación y deducción de programas a partir de especificaciones.

Alan Turing

Matemático y  Lógico pionero en Teoría de la Computación que contribuye a importantes análisis lógicos de los procesos computacionales. Las especificaciones para la computadora abstracta que él idea -conocida como Máquina de Turing-, resulta ser una de sus más importantes contribuciones a la Teoría de la Computación. Turing además prueba que es posible construir una máquina universal con una programación adecuada capaz de hacer el trabajo de cualquier máquina diseñada para resolver problemas específicos. La Máquina de Turing es un intento para determinar si la matemática se puede reducir a algún tipo simple de computación. Su objetivo fué desarrollar la máquina más simple posible capaz de realizar computación. La máquina propuesta por Turing es un dispositivo relativamente simple, pero capaz de realizar cualquier operación matemática. Turing se ilusionó con la idea de que su máquina podía realizar cualquier proceso del cerebro humano, inclusive la capacidad de producir conciencia de uno mismo.

Norbert Weiner

El científico norteaméricano Norbert Weiner (1894-1964) en 1947 publica su libro más famoso: Cibernética, o control y comunicación en el animal y la máquina; en donde se utiliza por primera vez la palabra Cibernética. Existen muchas definiciones de Cibernética -del griego kybernetes, piloto-, y Norbert Weiner da vida a la palabra con una definición simple: La Cibernética es la ciencia que estudia la traducción de procesos biológicos a procesos que reproduce una máquina. Desde los inicios la Cibernética se relaciona directamente con ciencias como Neurología, Biología, Biosociología, Robótica e Inteligencia Artificial.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Matemático y lógico alemán (1881-1966) conocido como LEJ Brouwer y fundador de la escuela de la Lógica intuicionista contrarrestando definitivamente el formalismo de Hilbert. Miembro del Significs Group son significativos sus trabajos Life, Art and Mysticism (1905) y Sobre la infiabilidad de los principios lógicos.

Alfred Tarski

Matemático y lógico y filósofo polaco (1902-1983). Emérito profesor de la University of California, Berkeley, realiza importantes estudios sobre álgebra en general, teoría de mediciones, lógica matemática, teoría de conjuntos, y metamatemáticas. El trabajo de Tarski⁵ incluye respuestas a la paradoja de Banach-Tarski, el teorema de la indefinibilidad de la verdad, las nociones de cardinal, ordinal, relación y es inductor de las álgebras cilíndricas.

Benoit Mandelbrot

El gran impulsor de la matemática contemporánea y pionero de la geometría fractal⁶ a quien la computación pura revela la moderna Geometría de la Naturaleza. Fractal y geometría fractal son el corpus principal de sus investigaciones además de los sistemas irreversibles. A la práctica totalidad de disciplinas se aplican hoy sus principios dando por sentado paradigmas como la Teoría del Caos que a finales del siglo XX ya contemplaba el estudio de sistemas dinámicos, irreversibles, caóticos.

La siguiente revolución lógica

La siguiente Revolución Lógica incorpora la fusión entre matemáticas y computación. Las computadoras tienden a explorar datos inteligentemente transfiriendo información de las bases de datos a las bases de conocimiento interconectadas a través de la Red a escala infinitesimal.

La lógica evoluciona pues como un gen hacia la culminación del conocimiento libre que nace del rigor formal de la Matemática griega; emerge renovadamente de etapas de persecución tan oscuras como la Edad Media y otros intentos más recientes; hasta el intercambio constante y continuo de datos en la moderna era de estructura de redes que Internet proporciona a modo neuronal a la Humanidad.

In fieri.

http://www.euclides.org/menu/articles/article101.htm

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Notas

1 - Henri Poincaré. University of St. Andrews.
www-history.mcs.st-andrews.ac.uk

2 - Antonio Escohotado. Génesis y Evolución del Pensamiento Científico.
www.escohotado.com

3 - Cfr. Escohotado. El Pensamiento Precientífico. Tema 1.
www.escohotado.com

4 - Cfr. Las trivialidades del rigor, Escohotado, Caos y Orden, 1999.

5 - Alfred Tarski. Wikipedia.
en.wikipedia.org/wiki/Tarski

6 - Benoit Mandelbrot. Historia de las Fractales.
www.geometriafractal.com

5.       El mundo de la lógica matemática

LOGICA MATEMÁTICA

Introducción.

La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.

  La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.

  El orden en que se presenta el documento es el siguiente: Primeramente se establece la importancia de la lógica matemática, después definimos el concepto de proposición. Se establece el significado y utilidad de conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Más tarde abordamos las proposiciones condicionales y bicondicionales. Definimos tautología, contradicción y contingente, y proporcionamos una lista de las tautologías más importantes, así mismo explicamos a que se le llama proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de verdad. Para finalizar; abordamos los métodos de demostración: directo y por contradicción, en donde incluye reglas de inferencia.

  En este trabajo se trata además de presentar las explicaciones con ejemplos que le sean familiares. Nuestro objetivo es que el alumno aprenda a realizar demostraciones formales por el método directo y el método por contradicción. Ya que la mayoría de los libros comerciales únicamente se quedan en explicación y demostración de reglas de inferencia. Consideramos que sí el alumno aprende lógica matemática no tendrá problemas para aprender ciencias exacta y será capaz de programar computadoras, ya que un programa de computadora no es otra cosa que una secuencia de pasos lógicos, que la persona establece para resolver n problema determinado.

  Es importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegar al resultado. El camino puede ser mas largo o más corto dependiendo de las reglas de inferencia y tautologías que el alumno seleccione, pero definitivamente deberá llegar al resultado. Puede haber tantas soluciones como alumnos se tenga en clase y todas estar bien. Esto permite que el estudiante tenga confianza en la aplicación de reglas y fórmulas. De tal manera que cuando llegue a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia solución, porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las reglas de inferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado.

Desarrollo.

La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

Proposiciones y operaciones lógicas.

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo.

p: La tierra es plana.

q: -17 + 38 = 21

r: x > y-9

s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.

t: Hola ¿como estas?

w: Lava el coche por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

Conectivos lógicos y proposiciones compuestas.

Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:

Operador and (y)

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {, un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica:

Ejemplo Sea el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”

Sean:

p: El coche enciende.

q: Tiene gasolina el tanque.

r: Tiene corriente la batería.

 De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:

  Donde.

1 = verdadero

0 = falso

En la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina, r=1 significa que la batería tiene corriente y p = q r=1 significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r valen cero implica que el auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede encender.

  Operador Or (o)

Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se eindica por medio de los siguientes símbolos: {,+,}. Se conoce como las suma lógica. Ejemplo.

 Sea el siguiente enunciado “Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase”. Donde.

p: Entra al cine.

q: Compra su boleto.

r: Obtiene un pase.

               

 Operador Not (no)

  Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {`, ,}. Ejemplo.

  La negación de estálloviendo en este momento (p=1), es no está lloviendo en este momento(p'=0)

   Además de los operadores básicos (and, or y not) existe el operador xor, cuyo funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas con verdad el resultado es falso.

  En este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados más complejos. Ejemplo

Sean las proposiciones:

p: Hoy es domingo.

q: Tengo que estudiar teorías del aprendizaje.

r: Aprobaré el curso.

  El enunciado: “Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no aprobaré el curso”. Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:

p qr

Por otro lado con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los operadores compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor (combina operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).

Proposiciones condicionales.

Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:

p q Se lee “Si p entonces q”

 Ejemplo.

El candidato del PRI dice “Si salgo electo presidente de la República recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Una declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente:

 Sean

p: Salió electo Presidente de la República.

q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.

De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera.

p q

  Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:

La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente: Ver tabla

Considere que se desea analizar si el candidato presidencial mintió con la afirmación del enunciado anterior. Cuando p=1; significa que salió electo, q=1 y recibieron un aumento de 50% en su sueldo, por lo tanto p  q =1; significa que el candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p=1 y q=0 significa que p  q =0; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios. Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco mintió de tal forma que p q =1.

Proposición bicondicional.

Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal de la siguiente manera:

  p q Se lee “p si solo si q”

  Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición bicondicional

  “Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez”

  Donde:

p: Es buen estudiante.

q: Tiene promedio de diez.

  por lo tanto su tabla de verdad es.

 La proposición condicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas

     A partir de este momento, ya se está en condiciones de representar cualquier enunciado con conectores lógicos.

 Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado “Si no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado”

Donde:

p: Pago la luz.

q: Me cortarán la corriente eléctrica.

r: Me quedaré sin dinero.

s: Pediré prestado.

t: Pagar la deuda.

w: soy desorganizado.

  (p'  q)  p (rs)   (r s)  t'  w

  Tablas de verdad.

  En estos momentos ya se está en condiciones de elaborar cualquier tabla de verdad. A continuación se presenta un ejemplo para la proposición [(pq)(q'r) (rq).

    El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula.

  No de líneas = 2n Donde n = número de variables distintas.

  Es importante destacar a medida que se avanza en el contenido del material el alumno deberá participar activamente. Estos significa que cuando se esta definiendo proposiciones y características propias de ellas, además de los ejemplos que el maestro explique, el alumno deberá citar proposiciones diferentes, deberá entender el porque un enunciado no es válido. Cuando se ven conectores lógicos, los alumnos deberán saber emplearlos en la representación de proposiciones más complejas. Pero algo muy importante, es que los ejemplo que el maestro y los alumnos encuentren en la clase, deben ser de interés para el estudiante. Cuando se ven tablas de verdad el alumno deberá saber perfectamente bien el porque de cada uno de los resultados. En pocas palabras el conocimiento deberá ser significativo.

Tautología y contradicción.

  Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables. Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.

  Note que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición es siempre 1. Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones.

  A continuación me permito citar una lista de las tautologías más conocidas y reglas de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales que obviamente el autor no consideró..

  1.- Doble negación.

a). p''Ûp

2.- Leyes conmutativas.

a). (pÚq)Û(qÚp)

b). (pÙq)Û(qÙp)

c). (p«q)Û(q«p)

  3.- Leyes asociativas.

a). [(pÚq)Úr]Û[pÚ(qÚr)]

b. [(pÙq)Ùr]Û[pÙ(qÙr)]

  4.- Leyes distributivas.

a). [pÚ(qÙr)]Û[(pÚq)Ù(pÚr)]

b. [pÙ(qÚr)]Û[(pÙq)Ú(pÙr)]

 5.- Leyes de idempotencia.

a). (pÚp)Ûp

b). (pÙp)Ûp

  6.- Leyes de Morgan

a). (pÚq)'Û(p'Ùq')

b). (pÙq)'Û(p'Úq')

c). (pÚq)Û(p'Ùq')'

b). (pÙq)Û(p'Úq')'

7.- Contrapositiva.

a). (p®q)Û(q'®p')

  8.- Implicación.

a). (p®q)Û(p'Úq)

b). (p®q)Û(pÙq')'

c). (pÚq)Û(p'®q)

d). (pÙq)Û(p®q')'

e). [(p®r)Ù(q®r)]Û[(pÙq)®r]

f). [(p®q)Ù(p®r)]Û[p®(qÙr)]

    9.- Equivalencia

a). (p«q)Û[(p®q)Ù(q®p)]

  10.- Adición.

a). pÞ(pÚq)

  11.- Simplificación.

a). (pÙq)Þp

12.- Absurdo

a). (p®0)Þp'

13.- Modus ponens.

a). [pÙ(p®q)]Þq

  14.- Modus tollens.

a). [(p®q)Ùq']Þp'

  15.- Transitividad del «

a). [(p«q)Ù(q«r)]Þ(p«r)

  16.- Transitividad del ®

a). [(p®q)Ù(q®r)]Þ(p®r)

  17.- Mas implicaciones lógicas.

a). (p®q)Þ[(pÚr)®(qÚs)]

b). (p®q)Þ[(pÙr)®(qÙs)]

c). (p®q)Þ[(q®r)®(p®r)]

  18.- Dilemas constructivos.

a). [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÚr)®(qÚs)]

b). [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÙr)®(qÙs)]

Contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es pp' . Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.

Si en el ejemplo anterior

p: La puerta es verde.

  La proposición pp' equivale a decir que “La puerta es verde y la puerta no es verde”. Por lo tanto se esta contradiciendo o se dice que es una falacia.

  Una proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla de verdad, dan como resultado 1s y 0s se le llama contingente.

Equivalencia lógica.

Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p q.

  Considero que un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde se puede observar que las columnas de (pq) y (q'p') para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (pq) (q'p')

Reglas de inferencia

Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración.

 Ejemplo 1

¿Es valido el siguiente argumento?.

  Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico.

Si se hace usted rico, entonces será feliz.

____________________________________________________

Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz.

Sea:

p: Usted invierte en el mercado de valores.

q: Se hará rico.

r: Será feliz

De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica de la siguiente manera:

  p q

q r

______

 p r

  Ejemplo 2.

  ¿Es valido el siguiente argumento?.

Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso

El ingreso se eleva.

_________________________________________

Los impuestos bajan

Solución:

Sea

p: Los impuestos bajan.

q: El ingreso se eleva.

p q

q

_____

p

El aplicar la regla de inferencia es lo que le cuesta más al alumno y se deberá poner mucha atención para que el alumno aprenda a aplicar dicha regla.

  En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen reglas de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, esta es la parte en donde la mayoría de alumnos tienen problemas y en donde no sabe que regla aplicar para resolver un determinado problema. A continuación se cita una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostración.

19.- Adición 23.- Conjunción

p p

_______ q

pq _________

 p q

20.- Simplificación 24.- Modus pones

p q p

____________ pq

p _________

q

  21.- Silogismo disyuntivo 25.- Modus tollens

pq pq

p' q'

_________ ___________

 q p'

  22.- Silogismo hipotético

pq

qr

________

pr

Métodos de demostración.

Demostración por el método directo.

Supóngase que pq es una tautología, en donde p y q pueden ser proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables propositvas, se dice que q se desprende lógicamente de p. Supóngase una implicación de la forma.

  (p1  p2 ....... pn) q

 Es una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende lógicamente de p1,p2,......,pn. Se escribe.

  p1

p2

.

.

pn

___

q

 Realmente el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el método directo. Significa que sí se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,...... y pn también es verdadera, entonces se sabe que q es verdadera.

Prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos por implicaciones de este tipo.

  (p1  p2 ....... pn) q

  Donde la pi son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión. “Demostrar el teorema”, es demostrar que la implicación es una tautología. Note que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas.

  Toda demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las tautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión.

A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto de las tautologías como de las reglas de inferencia.

  Sean

  p: Trabajo.

q: Ahorro.

r: Compraré una casa.

s: Podré guardar el coche en mi casa.

Analizar el siguiente argumento:

"Si trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro".

  El enunciado anterior se puede representar como:

  p Ú q ® r; y r ® s; entonces s' ® q'

  Equivale también a probar el siguiente teorema:

  [(p Ú q) ® r] Ù [r ® s] Þ [s' ® q']

  Como se trata de probar un teorema de la forma general:

  p1 Ù p2 Ù......Ù pn Þ q

Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos. A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.

  1.- (p Ù q) ® r Hipótesis

2.- r ® s Hipótesis

3.- q ® (q Ù p) Adición tautología 10

4.- q ® (p Ú q) 3; ley conmutativa, regla 2

5.- q ® r 4,1; silogismo hipotético, regla 22

6.- q ® s 5,2; regla 22

7.- s' ® q' 6; contrapositiva, regla 7.

  El enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o verdadera.

Es recomendable numerar cada uno de los pasos. Se puede notar que las primeras líneas son hipótesis, la línea 3 es una tautología conocida y de la línea 4 a 7 se obtuvieron aplicando reglas de inferencia. Se indica la regla de inferencia aplicada por medio del número de la derecha, y las líneas a las cuales se les aplicó dicha regla de inferencia por medio de los números de la izquierda.

 El ejemplo anterior es una demostración sencilla, pero puede ser tan complicada como sea necesario y el método debe funcionar.

Demostración por contradicción.

El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción.

La demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es como se indica

  p ® (p Ù r)  Ù (q Ú s) ® t Ù (p Ú s) t

Demostración

  1.- p ® (p Ù r) Hipótesis

2.- (q Ú s) ® t Hipótesis

3.- p Ú s Hipótesis

4.- t' Negación de la conclusión

5.- (qÚ s)' 2,4; Modus tollens, regla 25

6.- q' Ù s' 5; Ley de Morgan, 6ª

7.- q' 6; Simplificación, regla 20

8.- s' Ù q' 6; Ley conmutativa, 2b

9.- s' 8; Simplificación, regla 20

10.- sÚ p 3; Ley conmutativa, 2ª

11.- p 10,9; Silogismo disyuntivo, regla 21

12.- q Ù r 11,1; Modus ponens, regla 24

13.- q 12; Simplificación, regla 29

14.- q Ù q' 13,7; Conjunción, regla 23

15.- Contradicción.

Note que juntamente con las premisas se debe incluir la negación de la conclusión. En este momento el alumno ya tiene los elementos para llevar a cabo demostraciones con el apoyo del maestro. Es conveniente plantear varios enunciados, para que el alumno los represente con simbología lógica en forma de teorema. Que ese mismo teorema lo represente con su tabla de verdad y haga la correspondiente demostración por los dos métodos antes mencionados

La forma en que el aprende a aplicar reglas de inferencia es semejante a la manera en que deberá realizar una factorización o una aplicación de una fórmula en cálculo diferencial o integral o la formula que debe aplicar para resolver un problema en física. Lo que debe aprender es a relacionar los distintos conocimientos para poder llegar a la solución. Es importante mencionar que el camino que debe seguir el alumno no es el mismo que el maestro siguió sino uno distinto pero que ambos llegan al resultado.

Conclusiones.

La idea principal de este trabajo es que el alumno aprenda el concepto de proposición, la forma en que se pueden formar proposiciones compuestas usando los conectores lógicos, representar enunciados por medio de simbología lógica, conocer los conceptos de tautología, equivalencia lógica, regla de inferencia. Realizar demostraciones de teoremas por medio del método directo y contradicción. Pero con problemas que le sean familiares e interesantes. Se trata de que en cada uno de los subtemas participe proponiendo sus propios ejemplo y que sobre todo al final de la unidad él tenga la habilidad, confianza e iniciativa para inferir posibles soluciones.

  Todo enunciado puede ser planteado en términos de teoremas. Un teorema por lo general es resultado de un planteamiento de un problema, este planteamiento debe tener el siguiente formato.

  (p1  p2 ....... pn) q

  Como se establece p1, p2 ,......,pn son hipótesis (o premisas) derivadas del mismo problema y que se consideran válidas. Pero además deberán conectarse con el operador And (), lo cual implica que p1 es cierta y () p2 es verdad y ()...... y pn también es cierta entonces () la conclusión (q) es cierta. Para realizar la demostración formal del teorema se deberá partir de las hipótesis, y después obtener una serie de pasos que también deben ser válidos, ya que son producto de reglas de inferencia. Sin embargo no solamente las hipótesis y reglas de inferencia pueden aparecer en una demostración formal, sino también tautologías conocidas. En el teorema anterior cada uno de los pasos p1, p2,...pn son escalones que deberán alcanzarse hasta llegar a la solución.

  Lo mismo ocurre con todo tipo de problemas que se nos presentan en la vida, antes de llegar a la solución debemos alcanzar ciertas metas (p1,p2,....pn) hasta llegar al objetivo o conclusión (q). Pero una vez que logramos el objetivo debemos plantearnos nuevos objetivos que nos permitirán superarnos.

  Dependiendo del área de interés al estudiante puede transportad dichos conocimientos, de tal manera que le auxilien para entender y resolver otro tipo de problemas. En el caso de computación cada línea de un programa se obtiene inconscientemente aplicando una regla de inferencia y por lo tanto cada instrucción tiene su orden en que debe de ir colocada, si se cambia esa línea seguramente el resultado ya no será igual. Pero hay tantas formas de resolver un problema por medio de un programa como alumnos distintos tenga un maestro.

Una demostración formal equivale a relacionar esquemas para formar estructuras cognitivas. Sí el alumno sabe inferir soluciones lógicas, estará en condiciones de resolver todo tipo de problemas.

Uno de los objetivos principales del constructivismo, es la construcción del conocimiento. El tema de “lógica matemática”, se presta para que el alumno pueda realizar los relacionamientos entre las distintas proposiciones, esto permite crear nuevas formas de resolver problemas en distintas ramas: matemáticas, física, química pero también en las ciencias sociales y por su puesto cualquier problema de la vida real. Porque cada vez que nos enfrentamos a un problema, manipulamos la información por medio de reglas de inferencia que aunque no estén escritas debemos respetar. Cada vez que realizamos una actividad empleamos la lógica para realizarla, quizá algunos realicen dicha actividad por caminos más corto, otros realizan recorridos más largos, pero al fin de cuentas lo que importa es llegar al resultado. Si se le da la confianza al alumno para que cree e innove, su estructura cognitiva seguramente va a crecer.

BIBLIOGRAFÍA GENERAL:

1 - Henri Poincaré. University of St. Andrews.

www-history.mcs.st-andrews.ac.uk

2 - Antonio Escohotado. Génesis y Evolución del Pensamiento Científico.

www.escohotado.com

3 - Cfr. Escohotado. El Pensamiento Precientífico. Tema 1.

www.escohotado.com

4 - Cfr. Las trivialidades del rigor, Escohotado, Caos y Orden, 1999.

5 - Alfred Tarski. Wikipedia.

en.wikipedia.org/wiki/Tarski

6 - Benoit Mandelbrot. Historia de las Fractales.

www.geometriafractal.com

http://html.rincondelvago.com/logica-matematica_1.html

: A. G. Spirkin, Materialismo dialéctico y lógica dialéctica. Clásicos del Marxismo. Editorial Grijalbo, México

http://www.filosofia.org/enc/ros/concepto.htm

http://www.liceodigital.com/filosofia/logica.htm

GUÍA-TALLER

GRUPO	TEMÁTICA	ACTIVIDAD
1	CONCEPTOS E HISTORIA DEL CONCEPTO: Dialéctica	I.              Lectura comentada. (Cada grupo debe hacerse al material completo) II.            Elaboración de Síntesis temática en forma grupal: diapositivas u otro método III.          Exposición esencial grupal IV.         Dirección foro de precisión conceptual.	TRABAJO GRUPAL
2	CLASES DE LÓGICA: Lógica formal y material
3	2.2 Historia de la lógica formal y simbólica o matemática
4	Principios de la lógica formal y matemática
5	Relaciones de la lógica formal y matemática con la filosofía y el lenguaje
6	Las proposiciones en lógica formal y matemática
7	Conceptos en la  lógica formal y matemática
8	Conceptos en Lógica Dialéctica	V.   Elaboración de escrito sobre lo aprehendido y juicios valorativos.	TRABAJO INDIVIDUAL
9	Lógica dialéctica
10	Dialéctica como lógica y teoría del conocimiento
11	Leyes de la dialéctica materialista o científica.
12	Historia de la lógica dialéctica
13	Otras perspectivas históricas sobre la dialéctica
14	El mundo de la lógica matemática